Zrozumienie terminów we wzorze Długość stopnia?

Kalkulatory online, takie jak http://www.csgnetwork.com/degreelenllavcalc.html (zobacz źródło strony), wykorzystują poniższe formuły, aby uzyskać metry na stopień. Rozumiem ogólnie, jak odległość na stopień różni się w zależności od położenia szerokości geograficznej, ale nie rozumiem, jak to przekłada się na poniższe. Mówiąc dokładniej, skąd biorą się stałe, terminy 3 „cos” w każdej formule oraz współczynniki (2, 4, 6; 3 i 5) dla „lat”?

    // Set up "Constants"
    m1 = 111132.92;     // latitude calculation term 1
    m2 = -559.82;       // latitude calculation term 2
    m3 = 1.175;         // latitude calculation term 3
    m4 = -0.0023;       // latitude calculation term 4
    p1 = 111412.84;     // longitude calculation term 1
    p2 = -93.5;         // longitude calculation term 2
    p3 = 0.118;         // longitude calculation term 3

    // Calculate the length of a degree of latitude and longitude in meters
    latlen = m1 + (m2 * Math.cos(2 * lat)) + (m3 * Math.cos(4 * lat)) +
            (m4 * Math.cos(6 * lat));
    longlen = (p1 * Math.cos(lat)) + (p2 * Math.cos(3 * lat)) +
                (p3 * Math.cos(5 * lat));

Główny promień sferoidy WGS84 wynosi a = 6378137 metrów, a jej odwrotne spłaszczenie wynosi f = 298.257223563, skąd kwadratowa mimośrodowość wynosi

e2 = (2 - 1/f)/f = 0.0066943799901413165.

Promień południkowy krzywizny na szerokości geograficznej phi wynosi

M = a(1 - e2) / (1 - e2 sin(phi)^2)^(3/2)

a promień krzywizny wzdłuż równoległości wynosi

N = a / (1 - e2 sin(phi)^2)^(1/2)

Ponadto promień równoległości wynosi

r = N cos(phi)

Są to multiplikatywne korekty sferycznych wartości M i N , z których oba są równe promieniu sferycznemu a , do czego redukują się, gdy e2 = 0.

W żółtym punkcie na 45 stopniach szerokości geograficznej północnej niebieski dysk o promieniu M jest oscylującym („całującym”) okręgiem w kierunku południka, a czerwony dysk o promieniu N jest oscylującym okręgiem w kierunku równoległym: oba dyski zawierają w tym momencie kierunek „w dół”. Liczba ta przesadza spłaszczanie ziemi o dwa rzędy wielkości.

Promienie krzywizny określenia długości stopni: jeżeli koło ma promień R , jego obwód długości 2 pi R pokrywy 360 stopni, z którego długość jednego stopnia jest pi * R / 180 Podstawiając M i R do R - - to znaczy pomnożenie M i r przez pi / 180 - daje proste dokładne wzory na długości stopni.

Wzory te - oparte wyłącznie na podanych wartościach a i f (które można znaleźć w wielu miejscach ) i opisie sferoidy jako elipsoidy obrotu - zgadzają się z obliczeniami w pytaniu z dokładnością do 0,6 części na milion (kilka centymetrów), co jest w przybliżeniu tym samym rzędem wielkości najmniejszych współczynników w pytaniu, co oznacza, że ​​się zgadzają. (Przybliżenie jest zawsze trochę niskie.) Na wykresie błąd względny długości stopnia szerokości geograficznej jest czarny, a błąd długości geograficznej jest przerywany na czerwono:

W związku z tym możemy zrozumieć, że obliczenia w pytaniu są przybliżeniami (poprzez skrócone szeregi trygonometryczne) do podanych powyżej wzorów.

Współczynniki można obliczyć z szeregu cosinus Fouriera dla M i r jako funkcji szerokości geograficznej. Podano je w kategoriach eliptycznych funkcji e2, które byłyby zbyt nieporządne, aby się tutaj odtworzyć. Dla sferoidy WGS84 moje obliczenia podają

  m1 = 111132.95255
  m2 = -559.84957
  m3 = 1.17514
  m4 = -0.00230
  p1 = 111412.87733
  p2 = -93.50412
  p3 = 0.11774
  p4 = -0.000165

(Można się domyślać, jak p4wchodzi do formuły. :) Bliskość tych wartości do parametrów w kodzie świadczy o poprawności tej interpretacji. To ulepszone przybliżenie jest dokładne wszędzie o wiele lepiej niż jedna część na miliard.

Aby przetestować tę odpowiedź, wykonałem Rkod, aby wykonać oba obliczenia:

#
# Radii of meridians and parallels on a spheroid.  Defaults to WGS84 meters.
# Input is latitude (in degrees).
#
radii <- function(phi, a=6378137, e2=0.0066943799901413165) {
  u <- 1 - e2 * sin(phi)^2
  return(cbind(M=(1-e2)/u, r=cos(phi)) * (a / sqrt(u))) 
}
#
# Approximate calculation.  Same interface (but no options).
#
m.per.deg <- function(lat) {
  m1 = 111132.92;     # latitude calculation term 1
  m2 = -559.82;       # latitude calculation term 2
  m3 = 1.175;         # latitude calculation term 3
  m4 = -0.0023;       # latitude calculation term 4
  p1 = 111412.84;     # longitude calculation term 1
  p2 = -93.5;         # longitude calculation term 2
  p3 = 0.118;         # longitude calculation term 3

  latlen = m1 + m2 * cos(2 * lat) + m3 * cos(4 * lat) + m4 * cos(6 * lat);
  longlen = p1 * cos(lat) + p2 * cos(3 * lat) + p3 * cos(5 * lat);
  return(cbind(M.approx=latlen, r.approx=longlen))
}
#
# Compute the error of the approximation `m.per.deg` compared to the 
# correct formula and plot it as a function of latitude.
#
phi <- pi / 180 * seq(0, 90, 10)
names(phi) <- phi * 180 / pi
matplot(phi * 180 / pi, 10^6 * ((m.per.deg(phi) - radii(phi) * pi / 180) / 
       (radii(phi) * pi / 180)),
        xlab="Latitude (degrees)", ylab="Relative error * 10^6",lwd=2, type="l")

Dokładne obliczenia za pomocą radiimogą być używane do drukowania tabel o długości stopni, jak w

zapsmall(radii(phi) * pi / 180)

Dane wyjściowe są w metrach i wyglądają tak (z usuniętymi niektórymi liniami):

          M         r
0  110574.3 111319.49
10 110607.8 109639.36
20 110704.3 104647.09
...
80 111659.9  19393.49
90 111694.0      0.00

Bibliografia

LM Bugayevskiy i JP Snyder, Projekcje map - Podręcznik referencyjny. Taylor i Francis, 1995. (Załącznik 2 i Załącznik 4)

JP Snyder, Projekcje map - Podręcznik roboczy. USGS Professional Paper 1395, 1987. (Rozdział 3)

To formuła Haversine , choć wyrażona w dziwny sposób.