Czy elipsoidy są matematyczną koniecznością?
Odpowiedzi:
To podsumowuje moje rozumienie niektórych podstawowych pomysłów. Ponieważ trudno jest znaleźć wszystkie jasno opisane i streszczone w jednym miejscu, mogę się mylić lub wprowadzić w błąd co do niektórych z nich: komentarze i poprawki są mile widziane.
„Geoidy” są przybliżeniami powierzchni ekwipotencjalnej siły grawitacji.
Geoida jest hipotetyczną powierzchnią Ziemi, która reprezentuje średni poziom morza przy braku wiatru, prądów i większości pływów. Geoida jest użyteczną powierzchnią odniesienia. Określa wszędzie poziom, a grawitacja działa prostopadle do niego. Poziom stolarza ustawia się wzdłuż geoidy, a pion pionowy stolarza skierowany jest w dół w kierunku pionowym lub prostopadłym do geoidy. Woda nie będzie płynąć w akweduktach, jeśli rury będą idealnie ustawione wzdłuż geoidy. Geodeci wykorzystują wiedzę na temat geoidy i poziomu podczas wyznaczania autostrad i granic.
Aby zrozumieć, co jest uzyskiwane w stosunku do kuli lub elipsoidy, zwróć uwagę na to
Różnica w pozornych rzędnych między modelem sferycznym a dobrą elipsoidą wynosi do dwóch tuzinów kilometrów. Przekłada się to na maksymalne rozbieżności pozycjonowania wynoszące około 22 kilometrów . Występuje stosunkowo duża rozbieżność pozycjonowania, ponieważ występuje systematyczne zniekształcenie kuli względem elipsoidy: osiąga jedną skrajność na biegunach, a drugą skrajność na równiku.
Różnica w pozornych wzniesieniach między dobrą elipsoidą a geoidą wynosi zwykle mniej niż 100 metrów (około 0,1 kilometra). Nie jest to różnica systematyczna: zmienia się bardzo na stosunkowo krótkich odcinkach ziemi (rzędu setek kilometrów). W konsekwencji maksymalna rozbieżność pozycjonowania poziomego wynikająca z jakiejkolwiek hipotetycznej projekcji opartej na geoidie jest prawdopodobna rzędu metrów lub mniej (zwykle znacznie mniej, z wyjątkiem być może na dużych, starannie wybranych obszarach).
Jednak ugięcie geoidy (jest to wielkość, o którą zmienia się rzeczywisty kierunek grawitacyjny w pionie) dochodzi do około sekundy sekundy łuku, co czyni go nieodpowiednim dla jakiegokolwiek rodzaju mapowania o bardzo wysokiej dokładności opartego na pomiarze szerokości geograficznej w kategoriach lokalny kąt skierowany w górę. Ugięcie o sekundę łukową przekłada się na prawie 30 metrów na ziemi, a takie odchylenia mogą się różnić od jednej skrajności do drugiej na zaledwie kilkuset kilometrach.
W zamian za wyciśnięcie tych ostatnich 0,5% dokładności w opisie, w jaki sposób geoida różni się od elipsoidy, potrzebujesz setek do setek tysięcy parametrów w porównaniu z dwoma, aby opisać elipsoidę. Tak, matematycznie możliwe jest zdefiniowanie rzutu na podstawie geoidy zamiast elipsoidy. [Zobacz na przykład „Wykresy współrzędnych” na stronach 4–5 tego tekstu . Współczesna matematyczna definicja gładko zakrzywionych powierzchni, takich jak geoida, opiera się na zestawie rzutów. Niejawny Function Twierdzeniegwarantuje, że dla geoidy istnieją takie prognozy.] Obliczenia byłyby co najmniej nieefektywne (chociaż można by to przyspieszyć interpolacją we wstępnie obliczonych tabelach). W razie potrzeby różnicę w pozycjonowaniu pionowym można obliczyć po projekcji opartej na elipsoidzie pod względem parametrów geoidy lub interpolując w uprzednio obliczonej siatce wartości geoidy.
Poważnym potencjalnym problemem związanym z oparciem rzutów mapy na geoidzie jako powierzchni odniesienia jest to, że geoida stale się zmienia na całym świecie. To zmienia się ze zmianami poziomu morza , na przykład.
Ponieważ obecnie wiele współrzędnych odbywa się we współrzędnych geocentrycznych, a nie za pomocą grawitacyjnych urządzeń triangulacyjnych (takich jak poziomy), użycie geoidy jest praktycznie nieistotne: elipsoida - niezależnie od tego, czy może ona być powiązana z grawitacją, morzem poziom lub faktyczny kształt ziemi - służy jako względnie stabilna powierzchnia odniesienia, względem której wszystko inne można zlokalizować i zmapować. Geoidę opisuje się następnie w odniesieniu do tego odniesienia. Jego opis służy do mapowania przede wszystkim w celu umożliwienia satelitom GPS poprawy ich dokładności pozycjonowania.
Nie jestem ekspertem od geodezji, ale o ile rozumiem, geoida jest kształtem, jaki przybierze powierzchnia oceanów pod wpływem samej grawitacji. Jest to powierzchnia, na której natężenie grawitacji jest takie samo.
Problemem nie jest to, że trudno jest matematycznie opisać, ale może być niemożliwe do przewidzenia poprawnie i dokładnie.
Na przykład w pobliżu pasma górskiego, takiego jak Himalaje lub Andy, zmienia się drastycznie z powodu dużej masy zawartej w pasmach górskich. To nawet zmienia sezonowo ze względu na ilość wody w zbiorniku za Dam (w regionach w pobliżu zapory)
Z kolei elipsoida jest regularną powierzchnią, którą można wykorzystać jako gładkie przybliżenie idealnej powierzchni ziemi.
Tak, musisz użyć elipsoidy (lub innych matematycznych powierzchni).
powodem jest to, że geoida jest powierzchnią fizyczną (zdefiniowaną jako ekwipotencjalna powierzchnia pola sił grawitacji). Proste znaczenie - nie ma wzoru matematycznego (inne proste znaczenie - jest to powierzchnia na wysokości średniego poziomu morza, która po umieszczeniu na niej kropli wody się nie poruszy).
Geoidy nie można utworzyć matematycznie ani wykorzystać w obliczeniach, ponieważ jej kształt zależy od nieregularnego rozkładu masy wewnątrz Ziemi ( odniesienie ).
Rzutowanie (tutaj) jest działaniem matematycznym pomiędzy dwiema matematycznymi powierzchniami (kula / elipsoida / etc do płaszczyzny / stożka / cylindra / etc tutaj)
Podczas pomiaru za pomocą poziomu Dumpy'ego / teodolitu / tachimetru dokonujesz pomiaru w odniesieniu do geoidy - ponieważ równoważysz urządzenie względem pola grawitacyjnego.
Podczas pomiaru za pomocą GPS mierzy się w odniesieniu do elipsoidy (zgodnie z definicją w WGS84 Datum)