Jeden z moich kolegów pracuje z danymi rozproszonymi w dwóch strefach UTM. Większość danych znajduje się w jednej strefie, a kilka wartości odstających w innej strefie. Chciałby wiedzieć, jakie byłyby zniekształcenia powierzchni tych wartości odstających, gdyby znajdowały się w głównej strefie UTM.
Czy istnieje wzór do obliczania zniekształceń powierzchniowych, wiedząc, jak daleko od drugiej strefy UTM były te cechy?
Odpowiedzi:
UTM wykorzystuje poprzeczną projekcję Mercatora ze współczynnikiem skali 0,9996 na południku środkowym. W Mercatorze współczynnik skali odległości jest siecznym szerokości geograficznej (jedno źródło: http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection ), skąd współczynnik skali obszaru jest kwadratem tego współczynnika skali (ponieważ ma zastosowanie w we wszystkich kierunkach, Mercator jest zgodny). Rozumiejąc szerokość geograficzną jako odległość sferyczną do równika i przybliżając elipsoidę za pomocą kuli, możemy zastosować tę formułę do dowolnego aspektu rzutu Mercatora. A zatem:
Współczynnik skali wynosi 0,9996 razy sieczna (kątowa) odległość do południka środkowego. Współczynnik skali obszaru jest kwadratem tej wielkości.
Aby znaleźć tę odległość, rozważ trójkąt sferyczny utworzony przez podróżowanie geodezyjnym z dowolnego punktu w (lon, lat) = (lambda, phi) prosto w kierunku południka środkowego na długości mu, wzdłuż tego południka do najbliższego bieguna, a następnie z powrotem wzdłuż południka lambda do pierwotnego punktu. Pierwszy zakręt to kąt prosty, a drugi to kąt lambda-mu. Ilość przemieszczona wzdłuż ostatniej porcji wynosi 90 stopni phi. Kulisty twierdzenie sinusów stosowane do tego trójkąta stanach
sin (lambda-mu) / sin (odległość) = sin (90 stopni) / sin (90-phi)
z rozwiązaniem
odległość = ArcSin (sin (lambda-mu) * cos (phi)).
Odległość ta jest podana jako kąt, który jest wygodny do obliczenia siecznego.
Przykład
Rozważ strefę UTM 17, z południkiem środkowym przy -183 + 17 * 6 = -81 stopni. Niech odległe miejsce będzie na długości -90 stopni, szerokości 50 stopni. Następnie
Krok 1: Sferyczna odległość od (-90, 50) do południka -81 stopnia jest równa ArcSin (sin (9 stopni) * cos (50 stopni)) = 0,1007244 radianów.
Krok 2: Zniekształcenie powierzchni jest równe (0,9996 * s (0,1007244 radianów)) ^ 2 = 1,009406.
(Obliczenia numeryczne z elipsoidą GRS 80 dają wartość 1,009435, pokazując, że obliczona przez nas odpowiedź jest o 0,3% za niska: jest to ten sam rząd wielkości co spłaszczenie elipsoidy, wskazując, że błąd wynika z aproksymacji sferycznej.)
Przybliżenia
Aby dowiedzieć się, jak zmienia się obszar, możemy użyć niektórych tożsamości wyzwalaczy, aby uprościć ogólne wyrażenie i rozwinąć je jako szereg Taylora w lambda-mu (przesunięcie między długością punktu i długością centralnego południka UTM). To działa
Współczynnik skali powierzchni ~ 0,9992 * (1 + cos (phi) ^ 2 * (lambda-mu) ^ 2).
Tak jak w przypadku wszystkich takich rozszerzeń, kąt lambda-mu należy mierzyć w radianach. Błąd jest mniejszy niż 0,9992 * cos (phi) ^ 4 * (lambda-mu) ^ 4, co jest zbliżone do kwadratu różnicy między przybliżeniem a 1 - to znaczy kwadratu wartości po przecinku .
W przykładzie z phi = 50 stopni (z cosinusem 0,642788) i lambda-mu = -9 stopni = -0,15708 radianów, przybliżenie daje 0,9992 * (1 + 0,642788 ^ 2 * (-0,15708) ^ 2) = 1,009387. Patrząc za przecinek dziesiętny i do kwadratu, wywnioskujemy (nawet nie znając prawidłowej wartości), że jego błąd nie może być większy niż (0,009387) ^ 2 = mniej niż 0,0001 (a tak naprawdę błąd jest tylko o jedną piątą tego rozmiaru).
Z tej analizy wynika, że na dużych szerokościach geograficznych (gdzie cos (phi) jest małe), błędy skali będą zawsze małe; a na mniejszych szerokościach geograficznych błędy skali będą zachowywać się jak kwadrat różnicy długości.
Narzędzie GeographicLib GeoConvert
http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html
umożliwia obfite nakładanie się stref UTM (w szczególności dozwolona jest konwersja do sąsiedniej strefy, pod warunkiem, że wynikowe wschodzenie będzie w zakresie [0 km, 1000 km]). GeoConvert może również raportować zbieżność i skalę południka, a jak zauważa Whuber, zniekształcenie powierzchni jest kwadratem skali.
Na przykład twoja „główna” strefa to 42 i otrzymujesz punkt
41N 755778 3503488
(Uniwersytet Kandahar), który znajduje się około 29 km na zachód od strefy 42. Aby przekształcić to w strefę 42, użyj
echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069
Aby określić zbieżność południka i skalę w strefie 42, dodaj flagę -c
echo 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 -c ==> -1,73405 1.0008107
Zatem zniekształcenie powierzchni wynosi 1.0008107 ^ 2 = 1.0016221.