To, co wyróżnia GIS spośród projektów graficznych i kartografii, to stosowanie rozumowania ilościowego oraz zasad naukowych i inżynierskich. Zobaczmy, jak to może działać, nie wpadając w niepotrzebne obliczenia.
Kilka faktów
W GIS naprawdę dobrze jest mieć dobrą intuicję w zakresie długości, obszarów, a nawet objętości. Przejdę do tego, ale zacznijmy od przybliżonych przybliżeń, które prawie wszyscy wiedzą (lub powinni wiedzieć):
Około 70% powierzchni ziemi to ocean. Wrzuć czapkę lodową na Antarktydę, a my osiągniemy 75% lub więcej.
Oceany, a nawet czapa lodowa Antarktydy, mogą mieć głębokość mil. Powiedzmy, jako rząd wielkości, że średnia głębokość oceanu wynosi kilka kilometrów.
Promień ziemi wynosi około 6000 kilometrów.
Jeśli założymy, że woda gruntowa (i woda porowa w osadach oceanicznych) wnika w skorupę kilka kilometrów, to tak naprawdę nie zmienimy naszych szacunków sumy: byłoby to równoznaczne z założeniem, że 100%, a nie 75% powierzchni jest woda, a to zawyżałoby ilość o maksymalnie 100/75 - 1 = 33%.
(Możemy sprecyzować te liczby, wyszukując je, ale celem tej odpowiedzi jest zilustrowanie, w jaki sposób niewielka ilość wiedzy może nam pomóc w krytycznej ocenie map, wizualizacji i innych statystyk, które napotykamy.)
Na podstawie tych informacji możemy uzyskać użyteczne przybliżenie powierzchni Ziemi. (Będziemy tego potrzebować później.) Jak wiecie, w GIS używamy wielu różnych modeli powierzchni Ziemi: sfery, różnych elipsoid, geoidów i tak dalej. W tym celu przyjmijmy model, który ułatwia znajdowanie obszarów. Proponuję sześcian(!). Jasne, to zły kształt - ale w takim razie jest też kula. Więc proszę o wyrozumiałość: jeśli zrobimy sześcian mniej więcej tego samego rozmiaru co Ziemia - to znaczy o „promieniu” około 6000 kilometrów - wówczas utworzy on pudełko ledwo otaczające Ziemię. Zatem jego powierzchnia powinna być bliska, ale większa niż powierzchnia ziemi. Każda z sześciu ścian tego sześcianu jest kwadratem o boku 2 * 6000 km. Jego całkowita powierzchnia wynosi zatem 6 * (2 * 6000) ^ 2 = 0,864 * 10 ^ 9 kilometrów kwadratowych. Nazwijmy to nawet miliardem (10 ^ 9) kilometrów kwadratowych. Wiemy, że jest to przeszacowanie, ale nie jest to zbyt wielkie przeszacowanie. (Prawidłowa powierzchnia, na którą można łatwo spojrzeć, wynosi około połowy tej wartości).
(Zdjęcie uzyskane z 123RF .)
Zasada pizzy
Metodą tej wizualizacji jest reprezentowanie objętości - całkowitej objętości wody i objętości ziemi - za pomocą sfer Pseudo 3D. Tutaj potrzebna jest intuicja geometryczna. Ponieważ intuicja w 3D nie jest łatwa, przyjrzyjmy się temu, upuszczając kilka wymiarów:
Załóżmy, że krzywa długości L jest podwojona. Nowa krzywa ma podwójną długość.
(Dlaczego? Ponieważ, aby zmierzyć długość krzywej, przybliżamy ją polilinią i sumujemy długości jej segmentów. Kiedy podwoisz rozmiar segmentu, podwajasz jego długość.)
Załóżmy, że obszar 2D obszaru A ma podwojony rozmiar. Nowy region ma 2 * 2 = 4-krotność powierzchni.
(Dlaczego? Ponieważ, aby zmierzyć region 2D, przybliżamy go siatką małych kwadratów i dodajemy ich obszary. Po podwojeniu wielkości regionu, każdy taki kwadrat również ma dwa razy większy rozmiar. Niech bok oryginalnego kwadratu będzie s , jego powierzchnia będzie wynosić s ^ 2. Dlatego obszar podwójnego kwadratu wynosi (2s) ^ 2 = 2 ^ 2 * s ^ 2 = czterokrotność pierwotnego obszaru.)
Praktyczne zastosowanie : jeśli powiedzmy, że 10-calowa pizza kosztuje 5 USD w restauracji, to 20-calowa pizza powinna kosztować około 4 * 5 USD = 20 USD, a nie tylko 10 USD, ponieważ zawiera cztery razy więcej składników. To jest „Zasada pizzy”. (Jest tu ukryty, ale zły, żart matematyczny dotyczący ciasta).
Załóżmy, że obszar 3D objętości V ma podwojony rozmiar. Nowy region ma 2 * 2 * 2 = 8-krotność głośności.
(Dlaczego? Objętości mierzy się, przybliżając je tablicami małych kostek; sześcian boku s ma objętość s ^ 3; podwojenie boku takiego sześcianu daje jeden o objętości (2s) ^ 3 = 8 * s ^ 3 .)
Możemy zastąpić „podwojenie” tych argumentów dowolną skalą, w górę lub w dół. W rezultacie przeskalowanie regionu 3D o współczynnik x daje nowy region, który ma x ^ 3 = x * x * x razy większą objętość niż poprzednia, bez względu na to, jaki kształt był pierwotnie regionem. Poniżej użyjemy tej relacji w odwrotnej kolejności. W szczególności załóżmy, że dwa regiony 3D to wzajemnie skalowane wersje (takie jak dwie kule o możliwie różnych rozmiarach lub dwie kostki lub cokolwiek innego). Jeśli jeden z nich ma y razy objętość względem siebie, rozwiązujemy y = x ^ 3, aby stwierdzić, że jest skalowane przez współczynnik x = y ^ (1/3) (pierwiastek sześcienny z y). Na przykład, jeśli jedna kula ma 1000 razy objętość innej, to jest tylko 10 (= 1000 ^ (1/3)) razy większa.
Formuła buforowa
Przyda się jeszcze jedna intuicja. Na początek rozważ krzywą w płaszczyźnie (lub na powierzchni kuli). Niech jego długość być L . Zagęścić to trochę: to znaczy, buforować na odległość r , powiedzmy. Bufor jest regionem w strefie A . Pod warunkiem, że r jest wystarczająco małe, A będzie bardzo bliskie 2 * r * L. (Dlaczego? Jeszcze raz przybliż krzywą polilinią. Jej bufor to zbiór prostokątów, po jednym na segment, plus kilka bitów i kawałków małych kółek na każdym wierzchołku. Kiedy rjest bardzo mały, tylko obszary prostokątne mają duży udział w całkowitej powierzchni. Obszar takiego prostokąta to jego długość - pierwotna długość segmentu - razy szerokość, która wynosi 2 * r. Dodanie ich wszystkich daje przybliżenie).
Ten schemat pokazuje połowę bufora zamkniętej polilinii, ilustrując jak składa się z prostokątów i kawałków kół. Kręgi wnoszą niewielki wkład w obszar i można je zignorować w przypadku wąskich buforów.
Przestrzennym analogiem jest pogrubienie powierzchni w trzech wymiarach. Gdy pole powierzchni wynosi A, a odległość bufora jest niewielka, r , miara uzyskanej objętości wynosi około 2 * r * A.
Rozwiązanie
Z ostatniego wglądu geometrycznego wnioskujemy, że objętość wody na ziemi jest w przybliżeniu równa powierzchni ziemi pomnożonej przez średnią głębokość wody. (Oceany tworzą cienki „bufor” powierzchni Ziemi.) Pomnożenie wartości miliarda kilometrów kwadratowych uzyskanej wcześniej przez domniemanie, powiedzmy, średniej głębokości 2 kilometrów, daje dwa miliardy kilometrów sześciennych. ( Dokładniejsze obliczenia zbliżają wartość do 1,4 miliarda kilometrów sześciennych - ale stwierdziliśmy, że i tak przeceniliśmy).
Wracając do modelu kostki ziemi, pytamy: jaki rozmiar kostki miałby objętość dwóch miliardów km ^ 3? Stosując zasadę pizzy (na odwrót), z faktu, że miliard to sześcian tysiąca, od razu widzimy, że ta kostka byłaby 1000 razy większa niż sześcian zawierający dwa kilometry sześcienne. Tymczasowo ignorując współczynnik dwa, jest również natychmiastowe, że sześcian o długości 1 km ^ 3 musi mieć dokładnie jeden kilometr wielkości. Dlatego sześcian o wartości 2 miliardów km ^ 3 musi być z boku nieco większy niż 1000 km, około 1200 do 1300 km.
(Nawet jeśli popełnilibyśmy duży błąd w naszych przybliżeniach i szacunkach, odpowiedź ta niewiele by się zmieniła. Na przykład, gdyby prawdziwa ilość wody wynosiła zaledwie pół miliarda km ^ 3 - zaledwie jedną czwartą naszych szacunków - bok powstałego sześcianu nadal wynosiłby 800 km. Dlatego cały czas mogliśmy uniknąć takich przybliżonych przybliżeń.)
Pamiętając, że w naszym sześcianowym modelu ziemi otaczający sześcian ma dwanaście tysięcy kilometrów z boku i pamiętając, że Zasada Pizzy działa niezależnie od faktycznego kształtu (sześcian lub kula lub cokolwiek pomiędzy, nadal mają zastosowanie przewidywane proporcje długości i objętości) , wnioskujemy:
Całą wodę na ziemi można uformować w kulę o wielkości mniej więcej jednej dziesiątej wielkości samej ziemi.
Rzut oka na obraz w pytaniu pokazuje, że jest on tuż przy znaku. Doszliśmy do tego wniosku znając nie więcej geometrię niż zasada pizzy i prosty wzór bufora zastosowany do elementarnych faktów na temat ziemi, na której żyjemy.
