Jak dokładny jest przybliżenie Ziemi jako kuli?

Jaki poziom błędu napotkałem, przybliżając ziemię jako kulę? W szczególności, gdy mamy do czynienia z lokalizacją punktów i na przykład odległościami między dużymi okręgami.

Czy są jakieś badania dotyczące średniego i najgorszego błędu w porównaniu do elipsoidy? Zastanawiam się, ile dokładności poświęciłbym, gdybym poszedł z kulą dla łatwiejszych obliczeń.

Mój szczególny scenariusz dotyczy bezpośredniego mapowania współrzędnych WGS84, tak jakby były współrzędnymi na idealnej kuli (ze średnim promieniem określonym przez IUGG) bez żadnej transformacji.

Krótko mówiąc, odległość może być błędna do około 22 km lub 0,3%, w zależności od danych punktów. To jest:

• Błąd można wyrazić na kilka naturalnych, użytecznych sposobów , takich jak (i) błąd resztkowy, równy różnicy między dwoma obliczonymi odległościami (w kilometrach), i (ii) błąd względny, równy różnicy podzielonej przez „poprawna” (elipsoidalna) wartość. Aby uzyskać liczby wygodne w użyciu, mnożę te współczynniki przez 1000, aby wyrazić względny błąd w częściach na tysiąc .

• Błędy zależą od punktów końcowych. Ze względu na symetrię obrotową elipsoidy i kuli oraz ich dwustronne (północ-południe i wschód-zachód) symetria, możemy umieścić jeden z punktów końcowych gdzieś wzdłuż pierwszej południka (długość 0) na półkuli północnej (szerokość geograficzna między 0 a 90 ) i drugim punktem końcowym na półkuli wschodniej (długość geograficzna między 0 a 180).

Aby zbadać te zależności, narysowałem błędy między punktami końcowymi przy (lat, lon) = (mu, 0) i (x, lambda) w funkcji szerokości x między -90 a 90 stopni. (Wszystkie punkty są nominalnie na elipsoidalnej wysokości zero.) Na rysunkach rzędy odpowiadają wartościom mu w {0, 22,5, 45, 67,5} stopniach, a kolumny wartościom lambda w {0, 45, 90, 180} stopnie. To daje nam dobry widok na spektrum możliwości. Zgodnie z oczekiwaniami, ich maksymalne rozmiary to w przybliżeniu spłaszczenie (około 1/300) razy większa od osi głównej (około 6700 km) lub około 22 km.

Błędy

Błędy względne

Działka konturowa

Innym sposobem na zwizualizowanie błędów jest naprawienie jednego punktu końcowego i pozwolenie, aby drugi się zmieniał, konturując pojawiające się błędy. Tutaj na przykład jest wykres konturowy, w którym pierwszy punkt końcowy znajduje się na 45 stopniach szerokości geograficznej północnej i 0 stopniach długości geograficznej. Tak jak poprzednio, wartości błędów podano w kilometrach, a błędy dodatnie oznaczają, że obliczenia sferyczne są zbyt duże:

Może być łatwiej czytać, gdy jest zawinięty na całym świecie:

Czerwona kropka na południu Francji pokazuje lokalizację pierwszego punktu końcowego.

Dla przypomnienia, do obliczeń wykorzystano kod Mathematica 8 :

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

I jedno z poleceń drukowania:

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

Ostatnio badałem to pytanie. Myślę, że ludzie chcą wiedzieć

1. jakiego promienia sferycznego powinienem użyć?
2. jaki jest wynikowy błąd?

Rozsądną miarą jakości aproksymacji jest maksymalny bezwzględny błąd względny w odległości wielkiego koła

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

z maksimum ocenianym dla wszystkich możliwych par punktów.

Jeśli spłaszczenie f jest małe, promień sferyczny, który minimalizuje błąd, jest bardzo bliski (a + b) / 2, a wynikowy błąd wynosi około

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

(oceniane z losowo wybranymi parami punktów 10 ^ 6). Czasami sugeruje się użycie (2 * a + b) / 3 jako promienia sferycznego. Powoduje to nieco większy błąd, err = 5 * f / 3 = 0,56% (dla WGS84).

Geodezja, której długość jest najbardziej niedoceniana przez przybliżenie sferyczne, leży w pobliżu bieguna, np. (89,1) do (89,180). Geodezja, której długość jest najbardziej zawyżona w przybliżeniu sferycznym, jest południkowa w pobliżu równika, np. (-0,1,0) do (0,1,0).

DODATEK : Oto inny sposób rozwiązania tego problemu.

Wybierz pary równomiernie rozmieszczonych punktów na elipsoidzie. Zmierz elipsoidalną odległość s oraz odległość na kuli jednostkowej t . Dla dowolnej pary punktów s / t daje równoważny promień sferyczny. Uśrednij tę ilość we wszystkich parach punktów, co daje średni równoważny promień sferyczny. Jest pytanie, jak dokładnie należy zrobić średnią. Jednak wszystkie wybory próbowałem

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

wszystkie wyszły w odległości kilku metrów od zalecanego średniego promienia IUGG, R ₁ = (2 a + b ) / 3. Zatem wartość ta minimalizuje błąd RMS w obliczeniach odległości sferycznej. (Jednak powoduje to nieco większy maksymalny błąd względny w porównaniu do ( a + b ) / 2; patrz powyżej.) Biorąc pod uwagę, że R ₁ może być wykorzystywany do innych celów (obliczenia powierzchni i tym podobne), istnieje dobry powód, aby trzymaj się tego wyboru do obliczania odległości.

Dolna linia :

• Do każdego rodzaju systematycznej pracy, w której tolerujesz 1% błąd w obliczeniach odległości, użyj kuli o promieniu R ₁ . Maksymalny błąd względny wynosi 0,56%. Używaj tej wartości konsekwentnie, gdy zbliżasz ziemię do kuli.
• Jeśli potrzebujesz dodatkowej dokładności, rozwiąż elipsoidalny problem geodezyjny.
• W przypadku obliczeń z tyłu obwiedni użyj R ₁ lub 6400 km lub 20000 / pi km lub a . Powoduje to maksymalny błąd względny około 1%.

KOLEJNY DODATEK : Możesz wycisnąć nieco większą dokładność z odległości dużego koła, używając μ = tan- ¹ ((1 - f ) ^3/2 tanφ) (szerokość korygująca biedaka) jako szerokość geograficzną w obliczeniu wielkiego koła. Ogranicza to błąd względny od 0,56% do 0,11% (przy R ₁ jako promień kuli). (Nie jest jasne, czy naprawdę warto zastosować to podejście, a nie bezpośrednio obliczać elipsoidalną odległość geodezyjną).