To pytanie zakłada elipsoidalny model ziemi. Jego powierzchnię odniesienia uzyskuje się poprzez obrócenie elipsy wokół jej mniejszej osi (wykreślonej pionowo zgodnie z konwencją). Taka elipsa jest po prostu okręgiem, który został rozciągnięty poziomo o współczynnik a i pionowo o współczynnik b . Używając standardowej parametryzacji koła jednostki,
t --> (cos(t), sin(t))
(która definiuje cosinus i sinus), uzyskujemy parametryzację
t --> (a cos(t), b sin(t)).
(Dwa elementy tej parametryzacji opisują podróż wokół krzywej: określają, we współrzędnych kartezjańskich, naszą lokalizację w „czasie” t .)
Szerokości geodezyjnej , F , dla dowolnego punktu, to kąt, że „w górę” kieruje do płaszczyzny równikowej. Gdy a różni się od b , wartość f różni się od wartości t (z wyjątkiem wzdłuż równika i na biegunach).
Na tym zdjęciu niebieska krzywa jest jedną ćwiartką takiej elipsy (znacznie przesadzona w porównaniu z ekscentrycznością Ziemi). Czerwona kropka w lewym dolnym rogu to jej środek. Linia przerywana oznacza promień do jednego punktu na powierzchni. Jego „górny” kierunek jest pokazany za pomocą czarnego segmentu: z definicji jest on prostopadły do elipsy w tym punkcie. Ze względu na przesadną mimośrodowość łatwo zauważyć, że „góra” nie jest równoległa do promienia.
W naszej terminologii t jest związany z kątem wykonanym przez promień do poziomu, a f jest kątem wykonanym przez ten czarny segment. (Zauważ, że z tej perspektywy można patrzeć na dowolny punkt na powierzchni. To pozwala nam ograniczyć zarówno t, jak i f, do wartości od 0 do 90 stopni; ich cosinus i sinus będą dodatnie, więc nie musimy się martwić o negatywne pierwiastki kwadratowe we wzorach).
Sztuką jest konwersja z parametryzacji t na jeden w kategoriach f , ponieważ w kategoriach t promień R jest łatwy do obliczenia (za pomocą twierdzenia Pitagorasa). Jego kwadrat jest sumą kwadratów składników punktu,
R(t)^2 = a^2 cos(t)^2 + b^2 sin(t)^2.
Aby dokonać tej konwersji, musimy powiązać kierunek „w górę” f z parametrem t . Ten kierunek jest prostopadły do stycznej elipsy. Z definicji styczną do krzywej (wyrażoną jako wektor) uzyskuje się poprzez różnicowanie jej parametryzacji:
Tangent(t) = d/dt (a cos(t), b sin(t)) = (-a sin(t), b cos(t)).
(Różnicowanie oblicza szybkość zmian. Szybkość zmiany naszej pozycji podczas podróży po krzywej jest oczywiście naszą prędkością i zawsze wskazuje na krzywą.)
Obróć to w prawo o 90 stopni, aby uzyskać prostopadłą, zwaną wektorem „normalnym”:
Normal(t) = (b cos(t), a sin(t)).
Nachylenie tego wektora normalnego, równe (sin (t)) / (b cos (t)) („wzniesienie po przebiegu”), jest również styczną kąta, jaki robi do poziomu, skąd
tan(f) = (a sin(t)) / (b cos(t)).
Równoważnie
(b/a) tan(f) = sin(t) / cos(t) = tan(t).
(Jeśli masz dobry wgląd w geometrię euklidesową, możesz uzyskać ten związek bezpośrednio z definicji elipsy bez przechodzenia przez dowolny wyzwalacz lub rachunek różniczkowy, po prostu rozpoznając, że połączone poziome i pionowe rozwinięcia odpowiednio przez a i b powodują zmianę wszystkie zbocza tego współczynnika b / a .)
Ponownie przyjrzeć wzoru na R (t) ^ 2: wiemy, jak i B - oni określają kształt i wielkość elipsy - więc musimy tylko znaleźć cos (t) ^ 2 i sin (t) ^ 2 w kategoriach f , które powyższe równanie pozwala nam łatwo zrobić:
cos(t)^2 = 1/(1 + tan(t)^2)
= 1 / (1 + (b/a)^2 tan(f)^2)
= a^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2);
sin(t)^2 = 1 - cos(t)^2
= b^2 tan(f)^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2).
(Gdy tan (f) jest nieskończony, jesteśmy na biegunie, więc w takim przypadku po prostu ustaw f = t .)
To jest połączenie, którego potrzebujemy. Zamień te wartości na cos (t) ^ 2 i sin (t) ^ 2 w wyrażenie na R (t) ^ 2 i uproś, aby uzyskać
R(f)^2 = ( a^4 cos(f)^2 + b^4 sin(f)^2 ) / ( a^2 cos(f)^2 + b^2 sin(f)^2 ).
Prosta transformacja pokazuje, że to równanie jest takie samo jak w Wikipedii. Ponieważ a ^ 2 b ^ 2 = (ab) ^ 2 i (a ^ 2) ^ 2 = a ^ 4,
R(f)^2 = ( (a^2 cos(f))^2 + (b^2 sin(f))^2 ) / ( (a cos(f))^2 + (b sin(f))^2 )
(b^4 sin(f))^2go zmieniać na(b^4 sin(f)^2)?