To nie jest tak staromodne: pamiętam, że dokładnie rozwiązałem ten problem w latach 80-tych, kiedy nie mieliśmy łatwo dostępnych skanerów i musieliśmy podnosić współrzędne i wzniesienia z drukowanych map wielkoformatowych w celu analizy geostatystycznej.
W efekcie możesz już dokładnie odczytać długość geograficzną wzdłuż dowolnej linii długości geograficznej na mapie. Chcesz interpolować te pomiary do czterech określonych punktów (narożników). To samo dotyczy szerokości geograficznej. Zatem ten problem jest szczególnym przypadkiem interpolacji między konturami na dowolnej mapie konturowej . Dlatego nie musisz nic wiedzieć o projekcji ani układzie odniesienia, aby to zrobić.
Ponieważ należy to zrobić po prostu, nie możemy łatwo wykorzystać faktu, że mamy pełne kontury. Wystarczy zidentyfikować kilka dyskretnych punktów na każdym konturze i użyć ich. Dzięki temu problem jest równoważny z następującym:
Biorąc pod uwagę zbiór punktów na mapie, każdy oznaczony (płynnie zmieniającą się) wartością liczbową, aby oszacować wartość w innym określonym punkcie na mapie.
Aby rozwiązać ten problem, musimy ustalić układ współrzędnych dla samej mapy. Wybór nie ma znaczenia, o ile współrzędne izolinii są równomiernie rozmieszczone (nie muszą nawet być wzajemnie prostopadłe!). Prostym sposobem na osiągnięcie tego jest użycie linijki do pomiaru odległości od lewej krawędzi (x) i dolna krawędź (y) mapy. (Jeśli masz zeskanowany obraz, po prostu użyj indeksów wierszy i kolumn pikseli).
Interpolacji można dokonać, dopasowując trend do danych.
Wiemy, po prostu patrząc na mapę (czyli obserwując lokalnie regularne odstępy konturów), że estymator liniowy będzie działał całkiem dobrze, a estymator kwadratowy będzie działał jeszcze lepiej. Prawdopodobnie używanie nadmiernej liczby estymatorów wyższego rzędu jest prawdopodobnie przesadą (i zbyt dużą pracą). Estymator kwadratowy wymaga co najmniej sześciu punktów kontrolnych. Użyj zbioru punktów skupionych w pobliżu punktu oszacowania: zapewni to wysoką dokładność. Używaj więcej niż minimum: zapewnia to przydatne kontrole krzyżowe, a nawet może dać oszacowania błędów.
Powoduje to następującą procedurę , którą należy wykonać dla szerokości geograficznej i powtórzyć dla każdego punktu narożnego, a następnie powtórzyć od nowa dla długości geograficznej:
Zaznacz więcej niż sześć punktów wzdłuż odpowiednich linii konturu w pobliżu punktu narożnego. Użyj kilku różnych poziomów konturu.
Zmierz (x, y) w zaznaczonych punktach i w punkcie narożnym.
Zapisz (x, y, wartość zależna) w każdym zaznaczonym punkcie.
Obliczyć dopasowanie danych w postaci najmniejszych kwadratów za pomocą modelu:
(lat or lon) = a + b*x + c*y + d*x*x + e*x*y + f*y*y + error
Zastosuj dopasowany model do wartości (x, y) dla punktu narożnego.
Ludzie obliczali dopasowania do najmniejszych kwadratów znacznie dłużej niż mieli dostępne mechaniczne kalkulatory. Jeśli naprawdę nie masz dostępnego komputera lub kalkulatora, zadbaj o liniowy trend i skorzystaj z (łatwych) obliczeń w dowolnym podręczniku regresji opublikowanym przed około 1970 r. W przeciwnym razie możesz dopasować kalkulator graficzny, arkusz kalkulacyjny, lub (najlepszy i najłatwiejszy) dowolny w pełni funkcjonalny pakiet statystyczny. Ten ostatni będzie w stanie podać przedział prognozy, aby ocenić niepewność szacunków.
Na przykład zastosowałem tę procedurę dwukrotnie, aby znaleźć (lat, lon) w lewym górnym rogu, używając zaznaczonych punktów (czerwony dla długości geograficznej, niebieski dla szerokości geograficznej, żółty dla rogu):
Używając oczywistych nazw zmiennych, otrzymałem przewidywane wartości za pomocą dwóch poleceń Stata 11 dla każdego obliczenia:
regress lat x y c.x#c.y c.x#c.x c.y#c.y if lat!=0
predict lathat
regress lon x y c.x#c.y c.x#c.x c.y#c.y if lon!=0
predict lonhat
Szacowany (lat, lon) punkt narożny wynosi (61,05, -136,80). Szacowany błąd jest zaskakująco duży (około 0,04 stopnia), około dwa razy więcej niż oczekiwałbym od rozdzielczości obrazu na ekranie. Te linie konturu mogą nie być bardzo dokładnie umieszczone.
