Jak mogę wymyślić proste równanie malejącego zwrotu?

Istnieją wzory na malejące równanie zwrotu; jednak zwykle wiążą się one z wykładniczym. Jakie są inne sposoby wymyślenia takiego równania? Weźmy na przykład następujący przypadek testowy - jedno gospodarstwo wytwarza 10 żywności, na każde 10 wyprodukowanych gospodarstw wskaźnik produkcji spada o 5%.

Aby sformułować równanie malejących zwrotów, od razu pomyślałem o ułamkach.

To jest wykres y=1/F

ybędzie się zmniejszać wraz ze Fwzrostem. Zapewni to stały spadek, który nigdy nie osiągnie 0. Na tej podstawie możesz go przekształcić, aby uzyskać żądaną krzywą. Użycie liczb> 0 zawsze daje wynik dodatni, który nigdy nie wynosi 0.

Szczerze mówiąc, poleciłbym pójść do WolframAlpha i postawić kilka równań i spojrzeć na wykresy, które rysuje, aby zobaczyć, czy daje krzywą, którą chcesz. Poza tym przeczytaj równania liniowe i kwadratowe, aby szybko dowiedzieć się, co chcesz zmienić we wzorze. Wynika to z faktu, że modelowanie wykresów za pomocą równań jest nieco dużym tematem, a gdybym mógł to tutaj doskonale wyjaśnić, najpierw sprzedałbym to wyjaśnienie niektórym nauczycielom matematyki.

Zasadniczo, w przypadku wykresów liniowych pamiętaj y=mx+c. mjest gradientem i może być dodatni lub ujemny w zależności od potrzeb i cjest punktem, w którym przechwytuje y axis. xjest zmienną wejściową i ywyjściową.

To jest wykres y=mx+cgdzie m=1ic=0

W przypadku wykresów kwadratowych robi się to trochę bardziej skomplikowane, więc będę trochę niejasny i sam będziesz musiał przeczytać szczegóły. Khan Academy jest naprawdę dobrym źródłem do nauczania tego. Ma ogólną formę y=ax²+bx+c. cjest nadal punktem przecięcia y i można go dostosować, aby „podnieść” wykres. ai boba wpływają na krzywą podobnie, ale w różnym stopniu.

Jest y=-x²+2x+10. Zwróć uwagę na -x², co powoduje odwrócenie krzywej.

Zasadniczo baw się wykresami, dopóki nie dostaniesz tego, czego chcesz, ale zdecydowanie polecam więcej, jeśli chcesz szybko i czysto zaprojektować doświadczenie. Podstawowe równania są ważne w grach i naprawdę interesujące.

Inne rzeczy, na które należy zwrócić uwagę, to wykresy wykładnicze i logarytmiczne , tj. Wykresy y=e^xi, y=ln(x)aby uzyskać szybko rosnące i szybko malejące wykresy w zależności od transformacji. Oprócz tego pomocne są wektory i transformacje, które opisują to, co robisz na wykresie „bazowym”.

Zmniejszające się zwroty = malejący instrument pochodny

• Ponieważ nadal chcesz uzyskać zwroty nawet na wyższych poziomach, oznacza to, że pochodna powinna być dodatnia, w przeciwnym razie budowa większej liczby gospodarstw zmniejszyłaby produkcję żywności (co może nawet mieć sens, jeśli weźmiesz pod uwagę koszty logistyki i utrzymania)
• Powinno zbliżyć się do zera asymptotycznie, jeśli zbliży się do wartości niezerowej, skończy się to stałym wzrostem na gospodarstwo na pewnym poziomie
• w zależności od tego, jak szybko spada do zera, możesz mieć górny limit lub nieograniczoną funkcję

Więc co musisz zrobić? Wybierz funkcję, która spełnia powyższe kryteria i zintegruj ją.
Najprostszym wyborem do tego zadania jest miejsce, w g(t,n) = 1/(t+1)^nktórym n=1wyznacza się granicę między ciągle rosnącymi i ograniczonymi funkcjami.
Potrzebna f(x,n) = ((x+1)**(1-n) - 1)/(1-n)
jest całka g od 0 do x: oto jak wygląda inaczejn

I tutaj jest znormalizowany do tej samej wartości końcowej

Zmieniając wykładnik nmożna łatwo dostosować bilansowanie.
Uwaga: Pochodną tutaj jest produkcja na gospodarstwo, podczas gdy całka jest całkowitą produkcją dla wielu gospodarstw

Ogólnie rzecz biorąc, równanie liniowe zacznie się od y = mx + b, gdzie bjest twoja wartość początkowa, i mxto, w jaki sposób dostosowujesz wartość początkową wraz ze xwzrostem.

Tak więc pierwsza część twojego równania będzie polegała na tym b, 10że chcesz, aby farmy zaczynały od 10 posiłków.

y = mx + 10

Następnie, w twoim przypadku, chcesz dostosować żywność produkowaną przez co dziesięć gospodarstw. Będziesz musiał podzielić przez dziesięć, aby uzyskać równanie, które działa na każde dziesięć farm (zakładając, że x / 10zwraca liczbę całkowitą, tj . 13 / 10 = 1:

y = m * (x / 10) + 10.

Wreszcie musimy ustalić, w jaki sposób chcemy zmienić żywność dla każdej x / 10farmy. W twoim przypadku chcesz go zmniejszyć o 0,5 (5% z 10), co jest liniowe. Otrzymujemy więc:

y = -0.5 * ( x / 10 ) + 10.

Tak na farmie x = 5, otrzymujemy 5 / 10 = 0, 0 * -0.5 = 0, 0 + 10 = 10. Za farmę x = 11dostajemy 11 / 10 = 1, 1 * -0.5 = -0.5, -0.5 + 10 = 9.5, za farmę 23 dostalibyśmy 9,0.

Następnie wystarczy obliczyć całkowitą żywność dla wszystkich gospodarstw.

y = 0
for( x = 0; x < totalFarms; x++ )
{
    y += -5 * ( x / 10 ) + 10;
}

Ale może ty o 5%, chciałeś, aby spadła o 5% poprzedniej wartości. Tj. 10, 10 * 0.95 = 9.5, 9.5 * 0.95 = 9.025(W tym przypadku kwota, o którą zmniejszamy, staje się coraz mniejsza). Więc zmodyfikujmy równanie. 5%to wykładniczy wzrost typu, a formuła wykładnicza to y = b*m^x.

Nadal mamy b = 10i musimy dokonać podziału przez 10 lew. Więc mamy y = 10*m^(x/10). mjest 0.95, ponieważ chcemy za każdym razem brać 95% wartości. Tak więc równanie dla farmy xjest y = 10*0.95^(x/10).

Czy zrobiłby to liniowy malejący zwrot? produkcja na gospodarstwo = (1 - (0,05 * (f / 10))) * wskaźnik produkcji. Daje to szczyt wartości całkowitej produkcji (wskaźnik * # gospodarstw) przy f = 100.

Możesz rozważyć rozwiązanie algorytmiczne, które pasuje do sytuacji.

To znaczy, zastanów się, dlaczego zwroty w twojej grze maleją, i modeluj je.

Wiele obiektów tego samego typu może przynosić coraz mniejsze zyski, ponieważ mogą istnieć inne zasoby lub obiekty, od których zależą, lub które powodują wąskie gardła lub inne sytuacje ograniczające, takie jak sieć dróg, dostępni pracownicy, transport lub słodka woda lub elektryczność lub cokolwiek innego.

Jedno gospodarstwo może wyprodukować 10 posiłków dziennie w idealnych warunkach, ale wymaga to również dwóch godzin pracy rolnika dziennie. Wymaga również jednej świeżej wody na jedzenie dziennie, a jego własna studnia zapewnia tylko do 5 wody dziennie. Resztę należy zabrać z sąsiedniego strumienia lub rzeki lub przywieźć transportem. Problemem może być także dostarczenie jedzenia tam, gdzie musi być przydatne. Itd. Usuń niektóre lub dodaj więcej w zależności od tego, co chcesz reprezentować, ale mogą to być o wiele bardziej interesujące i znaczące powody, które dodają zainteresowanie i wartość do innych systemów gier, w przeciwieństwie do sztucznej formuły matematycznej nie opartej na innych elementach gry .

Jeśli chcesz, aby uogólnione równanie zadzierało, możesz użyć wykresu cosinus: A * cos (Bx + C) + D

Ale zmień go na pół okresu, aby obejmował pseudo wykładniczy wzrost na początku, a następnie krótki okres liniowego wzrostu, aż do ostatecznie malejącego punktu zwrotów. Jedyny problem polega na tym, że wymagałoby to stworzenia nieprzekraczalnego sufitu. Więc po pewnej liczbie gospodarstw nie zobaczysz żadnego wzrostu.

Poniższy obraz to wykres wzrostu tempa dla 30-minutowych biegów, wykonując dokładnie ten sam trening w przygotowaniu. To oczywiście nie jest idealne, ale możesz być w stanie z tego skorzystać, aby znaleźć to, czego szukasz.