Jak rozwiązać optymalny problem sterowania, w którym prawo ruchu zależy od funkcji wektora stanu?

Typowy problem optymalnego sterowania z wektorem stanu x (t) i wektorem sterowania y (t) można wyrazić jako:

max_{x (t), y (t)} \int_{0}^{t_{1}} f (t, x (t), y (t)) d t

$\max_{x(t), y(t)} \int_0^{t_1} f(t,x(t), y(t)) dt$

z zastrzeżeniem $x'(t)= g(t, x(t), y(t))$ i warunków brzegowych dla $x$ .

Chcę rozwiązać problem, który wygląda bardzo podobnie, ale zasada ruchu kontroli jest następująca:

x^{'} (t) = g (t, x (t), y (t), z (x (t)))

$x'(t)= g(t, x(t), y(t), z(x(t)) )$

Tutaj należy wybrać $z(.)$ . Ale jego argumentem jest państwo.

Nie wiem nawet, od czego zacząć szukać rozwiązań. Jak podejść do tego problemu?

control-engineering control-theory optimal-control

— Daniel Wills
źródło

Myślę, że poprawnym sposobem napisania jest

x^{'} (t) = g (t, x (t), y (t), z (x (t))

$x'(t) = g(t,x(t), y(t), z(x(t))$ . Poprawię oryginalne pytanie.

— Daniel Wills

Witamy w engineering.SE, +1 za doskonałe pierwsze pytanie.

— Chris Mueller

Szukasz rozwiązania w formie zamkniętej lub formalnej, czy pytasz o praktyczną optymalizację? W pierwszym przypadku powinieneś o to zapytać na stronie takiej jak math.stackexchange.com . W tym drugim przypadku istnieje szereg dyscyplin poświęconych praktycznej optymalizacji. W obu przypadkach musisz podać więcej szczegółów, aby uzyskać prawdziwą odpowiedź.

— wetwet

Szukam praktycznej optymalizacji. Więcej szczegółów: Podzbiór zmiennej kontrolnej zależy od (który nazywam ), a podzbiór zmiennych kontrolnych zależy od (który nazywam ). Dodatkowo muszę wybrać funkcję . Maksymalizacja podlega ograniczeniu Tak więc intuicyjny sposób rozwiązania tego problemu to: - zgadnij - rozwiąż (obecnie standardowy) problem optymalnego sterowania ( dany ) - sprawdź, czy , jeśli nie, zgadnij inny Ale widzisz, że nie ma powodu, aby algorytm się zbiegał. Jak ludzie to rozwiązują?

t

$t$

y

$y$

x

$x$

z

$z$

x (t)

$x(t)$

h (z (x (t)), y (t)) = 0

$h(z(x(t)), y(t)) =0$

x (t)

$x(t)$

x (t)

$x(t)$

h (z (x (t)), y (t)) = 0

$h(z(x(t)), y(t)) =0$

x (t)

$x(t)$

— Daniel Wills

Odpowiedzi:

Dlaczego musiałoby być zewnętrzne względem ? $z$ $g$

g^{'} (t, x (t), y (t)) = g (t, x (t), y (t), z (x (t)))

$g'(t,x(t),y(t))=g(t,x(t),y(t),z(x(t)))$

teraz użyj jako $g'$ $g$

$g$ może być dowolną dowolną funkcją, więc dowolną funkcję można po prostu włączyć do . $z$ $g$

Jeśli chodzi o swoją restrykcyjną mowa w sekcji komentarzy. Wszelkie ograniczenia na wejściu sterującym można egzekwować za pomocą funkcji kosztów: $h$

f_{n e w} (t, x (t), y (t)) = f_{o l d} (t, x (t), y (t)) - C h (x (t), y (t))^{2}

$f_{new}(t,x(t),y(t))=f_{old}(t,x(t),y(t))-C\,h(x(t),y(t))^2$

Gdzie jest wystarczająco duże, aby zagwarantować wartości wystarczająco bliskie zeru, ale nie tak duże, że błędy numeryczne w zdominowałyby pierwotne . $C$ $h$ $h$ $f$

— Stóg
źródło

Możesz użyć dyskretyzacji problemu do punktów, tak że musisz tylko określić skończoną liczbę parametrów (zakładając, że i są funkcjami ciągłymi). Do pochodnej i integracji można użyć metody Eulera, można zastosować metody wyższego rzędu, ale trudniej rozwiązać problem. $N$ $f$ $g$

Przeformułowanie daje:

h = \frac{t_{1}}{N - 1}, \vec{x} = [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}], \vec{y} = [y_{1}, y_{2}, \dots, y_{N}],

$h = \frac{t_1}{N-1}, \quad \vec{x} = [x_1, x_2, \dots, x_N], \quad \vec{y} = [y_1, y_2, \dots, y_N],$

\begin{aligned} max_{\vec{x}, \vec{y}} & \sum_{n = 1}^{N - 1} f (h (n - 1), x_{n}, y_{n}) h \\ s . t . & x_{n + 1} = x_{n} + g (h (n - 1), x_{n}, y_{n}) h, & n = 1, 2, \dots, N - 1 \end{aligned}

$\begin{align} \max_{\vec{x}, \vec{y}} & & \sum_{n=1}^{N-1} f(h (n-1), x_n, y_n) h\\ s.t. & & x_{n+1} = x_n + g(h (n-1), x_n, y_n) h, & & n = 1, 2, \dots, N-1 \end{align}$

Musisz także dodać ograniczenia graniczne do ograniczeń równości problemu optymalizacji. Możesz użyć wielu różnych metod, aby rozwiązać ten problem, na przykład jeśli masz dostęp do Matlaba, możesz użyć fmincon , który minimalizuje funkcję kosztów, którą można naprawić, dodając znak minus przed sumą. Często musisz także podać wstępne domysły, co może również wpłynąć na rozwiązanie, ponieważ różne domysły mogą zbiegać się z różnymi lokalnymi maksimami. Zwiększając , powinieneś uzyskać coraz dokładniejsze rozwiązanie, ale prawdopodobnie zajmie to więcej czasu. Może się zbiegać szybciej, jeśli użyjesz rozwiązania problemu z mniejszą liczbą punktów i interpolujesz je, a następnie użyjesz tego jako wstępnego odgadnięcia problemu większej liczby punktów. $N$

— włóknisty
źródło