Drugi moment bezwładności (lub drugi moment powierzchni) przekroju belki

Muszę obliczyć moment bezwładności Iyz, ale znajduję w Internecie 0 informacji o tym, jak je zdobyć lub rozwiązać w prawdziwym problemie, tyle że równa się

{\bar{I}}_{y z} = \int y z d A

$\bar{I}_{yz}=\int yz\text{ d}A$

Jak mogę rozwiązać ten problem w przypadku belki antysymetrycznej?

— Hrvi
źródło

Myślę, że nazywa się to momentem produktowym obszaru , który jest związany z drugim momentem obszaru. Spójrz na Wikipedię .

— Andrew

Odpowiedzi:

Produkty bezwładności nie są czymś, co często się spotyka. Jest tak głównie dlatego, że możemy rozbić większość przekrojów na małe kawałki i połączyć je z twierdzeniem o równoległej osi. W związku z tym po prostu pomijamy krok integracji.

Produkt wchodzi w grę, gdy obciążenie jest przykładane pod dziwnym kątem lub gdy masz do czynienia z niesymetrycznym przekrojem. Na przykład w przypadku kształtu kąta o równych nogach można obliczyć, że iloczyn bezwładności wynosi 0 dla każdej nogi. Jednak po połączeniu nóg środek ciężkości kształtu porusza się. W rezultacie, ponieważ środek ciężkości porusza się zarówno w osi x, jak i y, zmiana netto bezwładności produktu wyniesie:

A * x * y

$A*x*y$

Gdzie x byłoby odległością, w której centroid poruszał się w kierunku x, a y byłaby odległością, w której centroid poruszał się w kierunku y.

Staje się to szczególnie istotne w okręgu bezwładności Mohra w celu ustalenia pierwotnej osi bezwładności. Możesz obrócić ramkę odniesienia o kąt aby usunąć iloczyn bezwładności, gdzie można znaleźć w następujący sposób: $\theta$ $\theta$

θ = \frac{1}{2} a t a n (\frac{- 2 I_{x y}}{I_{x} - I_{y}})

$\theta = \frac{1}{2} atan\left(\frac{-2I_{xy}}{I_x-I_y}\right)$

— znak
źródło

Drugi moment bezwładności względem osi Z ma postać przez to Iz, ale kiedy podstawa wiązki jest uważana za Y. Alternatywnie może szukać I_xz, który miałby x jako podstawę, a z jako wysokość wiązki.

{\bar{I}}_{y z} = \int y z^{2} d A

$\bar{I}_{yz}=\int yz^2\text{ d}A$

W przeciwnym razie, jeśli szukamy przekątnej I_yz, wiemy, że jest to $\space Iyz = \sqrt{[(I_z)^2 + (I_y)^2]}$

To, co pokazałeś, jest pierwszą chwilą obszaru, a nie drugą. Drugi moment pola to suma wszystkich małych części powierzchni wiązki pomnożona przez moment ich ramienia WRT neutralnej osi wiązki.

Na przykład dla prostokątnej belki o przekroju poprzecznym o wymiarach która może być kłodą drewna

X = 6 c m, Y = 12 c m a n d Z = 180 c m

$X = 6cm,\space Y =12 cm\space and\space Z =180 cm$

{\bar{I}}_{y z} = \int y z^{2} d A = 12 \times 180^{3} / 12 = 5832000 c m^{4}

$\bar{I}_{yz}=\int yz^2\text{ d}A = 12 \times 180^3 /12 = 5832000 cm^4$

— kamran
źródło

Drugi moment bezwładności ma zawsze długość do czwartej - dałoby to długość piątej.

— Mark

gdzie widzisz moc pięciu? Jest to sześcian szerokości i wysokości podzielony przez stałą, więc jest czwartą siłą. Powodem, dla którego nie używają I_z, jest to, że wiązka nie jest smukła w tym kierunku, a płaszczyzny naprężenia niekoniecznie pozostają gładkie.

— kamran

y = L ^ 1, z ^ 2 = L ^ 2, dA = L ^ 2, więc całka jest L ^ 5.

— Mark

dA to faktycznie d (szerokość) razy d (wysokość). Ponieważ szerokość jest stała, wychodzi z całki, więc dA jest po prostu dH. Dlatego jest to moc czterech. Poszukam książki ze statystyką dla studentów pierwszego roku i opublikuję link, ale można google zobaczyć, jak obliczane są właściwości sekcji pryzmatycznej.

— kamran

Ale szerokość nadal byłaby częścią formuły. To, że przesuwasz go do przodu, nie zmienia wzoru na I. Wymiary wciąż są równe L ^ 5.

— Mark