Dlaczego przepływ potencjału źródła 3D spełnia jedynie równanie Laplace'a we współrzędnych sferycznych, a nie we współrzędnych cylindrycznych?

Potencjał przepływu źródła 3D jest określony przez: .$\phi = \frac{-\lambda}{4\pi r}$

Równanie Laplace'a we współrzędnych cylindrycznych jest następujące:

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r \frac{\partial \phi}{\partial r}\right) + f(\theta,z) = 0$

gdzie ponieważ jest niezależne od i .ϕ θ $f(\theta,z) = 0$$\phi$$\theta$$z$

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r \frac{\partial \phi}{\partial r}) = \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r} \left(\frac{\lambda}{4\pi r}\right) = \left(\frac{-\lambda}{4\pi r^3}\right) \neq 0$

Zatem przepływ potencjału 3D nie jest rozwiązaniem równania Laplace'a we współrzędnych cylindrycznych.

Teraz równanie Laplace'a we współrzędnych sferycznych jest następujące:

$\frac{1}{r^2sin(\theta)}\left[\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2sin(\theta)\frac{\partial \phi}{\partial r}\right) + f(\theta,\Phi)\right] = 0$

Gdzie ponieważ jest niezależne od i .$f(\theta,\Phi) = 0$$\phi$$\theta$$\Phi$

$\frac{1}{r^2sin(\theta)}\frac{\partial }{\partial r} (r^2sin(\theta)\frac{\partial \phi}{\partial r}) = \frac{1}{r^2sin(\theta)}\frac{\partial }{\partial r} (r^2sin(\theta)\frac{\lambda}{4\pi r^2})=\frac{1}{r^2sin(\theta)}\frac{\partial }{\partial r}(f(\theta))=0$

Dlatego przepływ potencjału źródła jest rozwiązaniem równania Laplace'a we współrzędnych sferycznych. Jak rozumiem, rozwiązanie równania Laplace'a powinno być niezależne od układu współrzędnych, więc o co tu chodzi?

Wszystkie równania dla tego pytania pochodzą od Johna D. Andersona Jr., Fundamentals of Aerodynamics Piąta edycja.

Odpowiedni potencjał (z warunku irracjonalnego) dla 2d dałby ci,

$\phi = \Lambda ~ln~r$

Co daje,

$u_r = \frac{\lambda}{r}$

Sprawdź ponownie swoją definicję potencjalnej funkcji.