Dlaczego nie można stworzyć obserwatora dla tego nie w pełni obserwowalnego systemu?

Rozważmy masę punktową 1D poruszającą się wzdłuż osi. Siła$u$jest stosowany jako kontrola. W grę nie wchodzi siła grawitacji ani inne siły. Układ można opisać w równaniach przestrzeni stanu jako:

$$\begin{align} A &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ B &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dfrac{1}{M} \end{bmatrix} \\ C &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ D &= [0] \end{align}$$

Pokazany system można kontrolować, ale nie można go zaobserwować. Nie jest nawet obserwowalny strukturalnie, a na pewno nie w pełni obserwowalny. Dlatego zbudowanie obserwatora dla tego systemu nie powinno być możliwe.

Jeśli jednak znam początkowy stan systemu, za każdym razem mogę obliczyć pełny stan, tzn. Integrując dane wyjściowe systemu. Jak to się zgadza z koncepcją obserwowalności? Jak włączyć stan początkowy do równań?

Nie mogę znaleźć błędu w moich myślach, ale jestem pewien, że jest taki błąd. Czy źle rozumiem obserwowalność?

Obserwowalność oznacza, że ​​można oszacować pełny stan przy użyciu tylko danych wyjściowych, nie znając stanu początkowego. Innymi słowy, musisz dowiedzieć się, gdzie jesteś, nie wiedząc, gdzie byłeś.

Bardziej praktycznym powodem, dla którego rzadko to działa, jest to, że gdy ograniczają Cię niedoskonałe czujniki i niezerowy czas próbkowania, przyjęcie całki przyspieszenia spowoduje rosnące błędy w twoich oszacowaniach pozycji i prędkości. Tak więc, nawet jeśli znasz stan początkowy, z czasem go stracisz.