Jak siła obciążenia wpływa na bezwładność obciążenia?

Próbuję symulować wciągarkę jako silnik o regulowanej prędkości, który działa poprzez skrzynię biegów w celu podniesienia masy. Wyjściową skrzynią biegów jest bęben, który obraca się, aby zgromadzić kabel.

Czuję się swobodnie, przekształcając masę w moment bezwładności, a także czuję się komfortowo, przekształcając ten moment bezwładności (po stronie wyjściowej) na moment bezwładności „widziany” przez silnik (po stronie wejściowej) ze skrzynią biegów . Dzięki prostej symulacji nie mam problemu z zapisaniem równań ruchu.

Moja komplikacja pojawia się, gdy chcę modelować „rozciąganie” w kablu. Pomyślałem, że mógłbym to zrobić, po prostu umieszczając sprężynę arbitralnej sztywności między bębnem wciągarki a masą, jak pokazano poniżej.

W tym modelu, dla celów symulacji, zakładam, że znam „wysokość bębna”, czyli to, jak daleko bęben się obrócił pomnożony przez promień bębna i wysokość ładunku. Siła sprężyny byłaby$k(\phi r - y)$, ale jak zastosować to do silnika ?

Mam model silnika:

$$\frac{\Theta}{V} = \frac{K_T}{R_a Js+K_T K_b}$$ oraz model kontrolera PI:

$$\frac{V}{\Theta_\mbox{error}} = \frac{k_p \left(s + \frac{k_i}{k_p} \right)}{s}\\ $$ gdzie $\Theta$jest prędkością silnika, jest napięcie na zaciskach, to bezwładność obciążenia maszyny i , i są odpowiednio odporność twornika silnika, momentu obrotowego na stałym poziomie, i do tyłu stałe pole elektromagnetyczne,.$V$$J$$R_a$$K_T$$K_b$

Interakcja, którą jestem zainteresowany badaniem, występuje, gdy kontroler PI jest dostrojony do przewidywanej bezwładności obciążenia , która byłaby znaleziona w silniku, skrzyni biegów, bębnie i masie obciążenia, ale system faktycznie „widzi” sprężystą masę.$J$

Uproszczenie odbywa się poprzez ustawienie równego , co daje:$k_i/k_p$$K_TK_b/R_aJ$

$$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{V}{\Theta_{\mbox{error}}}\frac{\Theta}{V} = \left( \frac{k_p \left( s + \frac{K_TK_b}{R_aJ} \right) }{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{s+\frac{K_T K_b}{R_aJ}} \right)$$

(Uwaga: mogę pozostawić jako zmienną, ponieważ współczynnik można ustawić na cokolwiek chcę$k_p$$k_i/k_p$$k_i$ tak długo jak $k_p$ nie jest zero.)

Tak więc w idealnym świecie, w którym wartość „całkowitej” bezwładności$J$ jest znany z góry, biegun zostaje anulowany, a cały system redukuje się do:

$$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \left( \frac{k_p}{s} \right) \left( \frac{\frac{K_T}{R_aJ}}{1} \right) \\ $$ $$\frac{\Theta}{\Theta_{\mbox{error}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s}$$

Wreszcie, $\Theta_{\mbox{error}} = \Theta_{\mbox{ref}} - \Theta_{\mbox{out}}$, więc za pomocą algebry:

$$\boxed{\frac{\Theta_{\mbox{out}}}{\Theta_{\mbox{ref}}} = \frac{1}{\frac{R_aJ}{k_pK_T}s + 1}}$$

Przykro mi z powodu strzelaniny z tak dużą ilością szczegółów, ale chciałem wywrzeć wrażenie na każdym czytającym, że jestem pewien wszystkich moich kroków do tej pory i że poświęciłem sporo pracy nad tym problemem. Teraz ponownie moje pytanie - chcę symulować rozciąganie kabla między bębnem a ładunkiem, ale nie jestem pewien, jak użyć siły sprężyny do modulowania bezwładności obciążenia.

Jedną z moich myśli było próba sfałszowania „masy równoważnej”, zakładając:

$$F = m_{\mbox{equivalent}}a \\ m_{\mbox{equivalent}} = \frac{F_{\mbox{spring}}}{a} \\ $$

ale to nie wydaje się właściwe i nie jestem pewien, czego użyłbym do przyspieszenia $a$.

Jestem sfrustrowany tym, że jestem tak daleko od problemu i zdumiewa mnie to, co wydaje się być łatwym problemem, ale naprawdę nie mogę wymyślić sposobu, aby podejść do tego problemu. Myślę, że jeśli uda mi się to właściwie ułożyć, mógłbym opracować mechanikę, ale to właśnie konwersja siły do ​​bezwładności wydaje mi się, że trzeba ją wykonać, żeby mnie zaskoczyła.

Wreszcie, dla przypomnienia, próbowałem również śledzić wstecz mój model silnika, aby uwzględnić moment obciążenia. Daje to pozornie rozsądne wyniki, ale ostatecznie odejmuję moment obciążenia od momentu obrotowego silnika, aby uzyskać moment obrotowy netto, a następnie przykładam ten moment obrotowy do całkowitej bezwładności, aby uzyskać przyspieszenie silnika. To się żywi i znowu nie jestem pewien, czy prawidłowo traktuję całkowitą bezwładność.

Najpierw obliczmy model. Projekt sterowania to osobny wysiłek.

Moment obrotowy przykładany do bębna wynosi $n T_M$, gdzie n oznacza przełożenie skrzyni biegów i $T_M$ to moc wyjściowa wytwarzana przez silnik. $T_M= K_T i(t)$, gdzie $K_T$ jest stałą proporcjonalności i $i(t)$ to prąd silnika.

Teraz możemy napisać równania dla układu mechanicznego:

$$m y''(t)+m g-k (y(t)-r \theta (t))=0$$ $$J \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n K_T i(t)$$

Tutaj m jest masą, a k jest stałą sprężyny.

Aby napisać równanie motoryczne, musimy określić tylny emf. Tylny emf jest proporcjonalny do prędkości silnika i aby zapisać go pod względem prędkości bębna, mnożymy go również przez przełożenie n.

$$L i'(t)+R i(t)+n K_b \theta '(t)=V(t)$$

Tutaj $V(t)$ to przyłożone napięcie, $L$ jest indukcyjność, $R$ jest oporem i $K_b$ jest stałą proporcjonalności.

Te trzy równania mają $V(t)$ jako dane wejściowe i $i(t)$,$\theta (t)$, i $y(t)$jako stany / wyniki. Można to wykorzystać do uzyskania modelu przestrzeni stanów lub modelu funkcji przenoszenia. (Poniższe uzyskano przy użyciu Mathematica)

Teraz można rozpocząć projektowanie sterowania ...

Aktualizacja

Ponieważ pojawiły się pewne nieporozumienia dotyczące bezwładności, którą należy zastosować, wyjaśnię odpowiedź. Mam zamiar założyć jeden zestaw kół zębatych w skrzyni biegów - koło zębate z bezwładnością$J_1$ po stronie bębna i przekładni z bezwładnością $J_2$ po stronie silnika.

W powyższej odpowiedzi zaniedbałem bezwładność kół zębatych. Jedyną zmianą, którą należy teraz wprowadzić, jest zmodyfikowanie drugiego równania w następujący sposób.

$$\left(J+J_1\right) \theta ''(t)+k r (y(t)-r \theta (t))=n i(t) K_T$$

Jeśli pożądane jest również równanie opisujące przejściową dynamikę wału silnika, to jest to równanie dodatkowe obejmujące $\theta_M$(obrót wału silnika), bezwładność $J_2$itp. Jednak nie jest to konieczne, jeśli celem jest kontrola pozycji bębna.

Rozciągnij w wiosennej delcie $Y = A.sin(\omega.t) = A.sin\sqrt(k/m) . t$ Tak więc delta Y nie jest stała, ale jeśli jesteś zainteresowany delt Y_max

delta $Y max = m/k$, zgodnie z prawem Hooks.
Ponieważ twój system nie przyspiesza, chyba że na początku i na końcu, zakładając, że koło pasowe zaczyna się i zatrzymuje nagle, to maksimum. Każde stopniowe przyspieszenie start / stop będzie musiało zostać odjęte od przyspieszenia sprężyny, które jest
$- \omega^2 . t$
$\omega = \sqrt(k/m)$

patrząc na schemat masy swobodnego ciała
Jak zauważyłeś, siła jest$K(\phi.r - y)$

$m.dx^2/dt^2 = -K(\phi.r-r)$
podziel obie strony przez K otrzymujemy:

$m/K.dx^2/dt^2 +\phi.r=y$

$\omega^2.dx^2/dt^2 +\phi.r =y$

Mam nadzieję, że to pomoże.

Zdaję sobie sprawę, że to stary wątek i nie jestem pewien, jak głęboko nurkowałeś w końcu na tym nurkowaniu, ale jedną rzeczą, której nie widzę w swoich równaniach, jest tarcie bębna / kabla. Będzie to małe i podobnie jak skumulowana masa zranionej stalowej liny, której nie uwzględniono, może nie znajdować się na liście. Kabel może być wstępnie rozciągnięty i wstępnie obciążony, jednak każdy ruch między liną a bębnem na skutek rozciągnięcia linki również spowoduje tarcie. W mojej branży (takielunek teatralny, projektowanie maszyn scenicznych) rowek styka się z większym obszarem niż zastosowanie płaskiego bębna i zwykle mamy dodatkowe tarcie wzdłuż krążków przekierowujących i mułów w zestawie liniowym, szczególnie w 2: 1 lub 4: 1 mechaniczne systemy przewagi.

Myślę, że podejście Suba Thomas daje dobry model: zacznij od sumy sił przy obciążeniu i sumy momentów na bębnie. Następnie określ wymagany model silnika.

Początkowy model silnika uchwytu wymaga sztywnego układu, w którym można obliczyć pojedynczą wartość momentu bezwładności, a celem modelu jest:

Interakcja, którą jestem zainteresowany badaniem, występuje, gdy regulator PI jest dostrojony do przewidywanej bezwładności obciążenia $J$, które można znaleźć w silniku, skrzyni biegów, bębnie i masie obciążeniowej, ale system faktycznie „widzi” sprężystą masę.

Jedna uwaga na temat bezwładności w równaniu momentu bębna Suba Thomasa: Nie zapomnij o bezwładności silnika zwiększonej do bębna. W zależności od wybranego silnika jego wpływ może być znaczący. Więc wybrałbym$J = J_{motor} * i^2 + J_{drum}$