Konwersja elementów regulatora PID ze sprzężeniem zwrotnym stanu w funkcję pojedynczego transferu i dyskretną formę przestrzeni stanu

Od około tygodnia zmagam się z tym problemem w ramach całorocznego projektu. Projektujemy sterownik dla konkretnego reaktora w oparciu o model. Po dłuższym spojrzeniu na to nadal nie mogę uruchomić tego - więc byłbym bardzo wdzięczny, jeśli mogę uzyskać pomoc.

Jeden z opublikowanych przeglądów literatury, na którym w dużej mierze oparliśmy, wymienia regulator PID w każdym oddzielnym składniku zamiast połączonego równania, tak jak poniżej:

{\begin{cases} P (n) = K_{p} [G (n) - t a r g e t] \\ I (n) = I (n - 1) + \frac{K_{p}}{T_{I}} [G (n) - t a r g e t] \\ D (n) = K_{p} T_{D} \frac{d G}{d t} (n) \end{cases}

$\begin{cases} P(n)=K_p[G(n)-target] \\I(n)=I(n-1)+\frac{K_p}{T_I}[G(n)-target]\\D(n)=K_pT_D\frac{dG}{dt}(n)\end{cases}$

Po prostu łącząc trzy komponenty w wyjście :

P I D (n) = P (n) + I (n) + D (n)

$PID(n)=P(n)+I(n)+D(n)$

I stąd autor dodaje dodatkową warstwę sprzężenia zwrotnego stanu na górze sygnału PID, aby uzyskać końcowe wyjście kontrolera zastosowane w systemie.

{\begin{cases} Q (n) = K_{0} R (n - 1) + K_{1} Q (n - 1) - K_{2} Q (n - 2) \\ R (n) = (1 + γ) P I D (n) - γ Q (n - 1) \end{cases}

$\begin{cases} Q(n)=K_0R(n-1)+K_1Q(n-1)-K_2Q(n-2)\\R(n)=(1+\gamma)PID(n)-\gamma Q(n-1)\end{cases}$

A R jest ostatnim „wyjściem kontrolera”. Tutaj jest wzmocnieniem procesu, i są całkowania i pochodnych, , i są „wzmocnieniami” dostrojonymi dla sprzężenia zwrotnego stanu (niezmiennego), a jest stałą, 0,5. jest stanem systemu, jest stanem szacunkowym, który wpływa na dynamikę modelu, a jest faktyczną wydajnością końcową wysyłaną do instalacji. $K_p$ $T_I$ $T_D$ $K_0, K_1$ $K_2$ $\gamma$ $G(n)$ $Q(n)$ $R(n)$

Próbowałem najpierw przekonwertować całość na funkcję transferu pojedynczego kontrolera, ale powiedziano mi, że zwykłe dodanie ich razem nie zadziała.

Miałem też zadanie znaleźć dyskretną reprezentację tego kontrolera w przestrzeni stanów. W tym celu próbowałem zmienić na aby pozbyć się tego problemu. $\frac{dG}{dt}(n)$ $G(n)-G(n-1)$

Następnie próbowałem zdefiniować nową zmienną stanu dla aby i mogły zostać przekonwertowane do pierwszego rzędu. $Q(n)$ $Q(n-1)$ $Q(n-2)$

Następnie próbowałem podstawić wartości do regulatora PID, aby uzyskać jako zmienną stanu. Wszystkie te wysiłki były oparte na zaleceniach mojego profesora. $G(n)$

Jednak nadal jestem bardzo utknięty, ponieważ ślepo podążam za jego wskazówkami, bez ogólnej wizji, aby nad tym popracować. Myślałem, że będzie to prosta sprawa transformacji Tustina - och, jak bardzo się myliłem ...

Jestem dość sfrustrowany, ponieważ po tygodniowym wysiłku wciąż jestem zaskoczony tym, co wydaje się być prostym problemem.

Jeśli to możliwe, czy mogę pokornie poprosić o pomoc w tych dwóch konkretnych pytaniach?

Przekształć ten kontroler w funkcję przesyłania pojedynczego kontrolera (jak zwykle widać w dowolnej reprezentacji funkcji przesyłania, tj. ) $G(s)=\frac{1}{s+1}$
Przekształcić ten kontroler w dyskretną reprezentację przestrzeni stanów, pozostawiając częstotliwość próbkowania jako zmienną?

control-system pid-controller

— John Galt
źródło

MATLAB i Maple potrafią rozwiązać te problemy. Mam oba programy. Wydrukowałem twój post i spróbuję je uruchomić. Zrobiłem trochę tego na studiach.

— Wesley Wortman

Czy możesz podać tytuł publikacji?

— Hazem

To nie jest pełna odpowiedź, ale mam nadzieję, że może być pomocna.

Możesz przepisać pierwszy system jako

{\begin{cases} P (n) = K_{P} E (n) \\ I (n) = I (n - 1) + \frac{K_{P}}{T_{I}} E (n) Δ t \\ D (n) = K_{P} T_{D} \frac{E (n) - E (n - 1)}{Δ t} \end{cases}

$\begin{cases} P(n) = K_P E(n) \\ I(n) = I(n-1) + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t \\ D(n) = K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \end{cases}$

Gdzie i to przedział próbkowania. Zauważ, że i nie są zdefiniowane jako zyski. i są odpowiednio wzmocnieniem całkowitym i wzmocnieniem pochodnym. $E(n) = G(n) - target(n)$ $\Delta t$ $T_D$ $T_I$ $K_I = \frac{K_P}{T_I}$ $K_D = K_P T_I$

Teraz możesz przepisać system jako jedną funkcję błędu.

P I D (n) = P (n) + I (n) + D (n)

$PID(n) = P(n) + I(n) + D(n)$

I (n - 1) = P I D (n - 1) - P (n - 1) - D (n - 1) = P I D (n - 1) - K_{P} E (n - 1) - K_{P} T_{D} \frac{E (n - 1) - E (n - 2)}{Δ t}

$I(n-1) = PID(n-1) - P(n-1) - D(n-1) \\ = PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t}$

P I D (n) = K_{P} E (n) + P I D (n - 1) - K_{P} E (n - 1) - K_{P} T_{D} \frac{E (n - 1) - E (n - 2)}{Δ t} + \frac{K_{P}}{T_{I}} E (n) Δ t + K_{P} T_{D} \frac{E (n) - E (n - 1)}{Δ t} = P I D (n - 1) + K_{P} ((1 + \frac{Δ t}{T_{I}} + \frac{T_{D}}{Δ t}) E (n) - (1 + 2 \frac{T_{D}}{Δ t}) E (n - 1) + \frac{T_{D}}{Δ t} E (n - 2))

$PID(n) = K_P E(n) + PID(n-1) - K_P E(n-1) - K_P T_D \frac{E(n-1) - E(n-2)}{\Delta t} + \frac{K_P}{T_I} E(n) \Delta t + K_P T_D \frac{E(n) - E(n-1)}{\Delta t} \\ = PID(n-1) + K_P \left(\left(1 + \frac{\Delta t}{T_I} + \frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n) - \left(1 + 2\frac{T_D}{\Delta t} \right)E(n-1) + \frac{T_D}{\Delta t} E(n-2) \right)$

Drugi jest nieco bardziej skomplikowany do przepisania jako pojedyncze równanie, ale możesz to zrobić w podobny sposób. Wynik powinien być

R (n) = K_{1} R (n - 1) - (γ K_{0} + K_{2}) R (n - 2) + (1 + γ) (P I D (n) - K_{1} P I D (n - 1) + K_{2} P I D (n - 2))

$R(n) = K_1 R(n-1) - (\gamma K_0 + K_2) R(n-2) + (1+\gamma) (PID(n) - K_1 PID(n-1) + K_2 PID(n-2))$

Teraz wystarczy podstawić równanie PID, aby uzyskać równanie regulatora jako funkcję błędu.

— gvgramazio
źródło