Powiedzmy, że mam sinusoidę 1 kHz, więc nie ma wyższych harmonicznych, to muszę go wypróbować co najmniej 2 kHz, aby móc go zrekonstruować.
Ale jeśli próbuję przy częstotliwości 2 kHz, ale wszystkie moje próbki są w punkcie przejścia przez zero, wówczas mój próbkowany sygnał w ogóle nie wykazuje sinusa, a raczej EKG zmarłego pacjenta. Jak to można wytłumaczyć?

Można to rozszerzyć również na wyższe częstotliwości próbkowania. Jeśli próbuję bardziej złożony kształt fali przy 10 kHz, powinienem uzyskać przynajmniej 5 pierwszych harmonicznych, ale jeśli kształt fali jest taki, że próbki są za każdym razem zerowe, to znowu nic nie dostajemy. Nie jest to zbyt daleko posunięte, jest idealnie możliwe dla fali prostokątnej o cyklu pracy <10%.

Dlaczego więc kryterium Nyquista-Shannona wydaje się tutaj nieważne?

Rzeczywiście potrzebujesz częstotliwości próbkowania nieco ponad 2 kHz, aby poprawnie próbkować fale sinusoidalne 1 kHz. To nie f N ≤ f S /

Nie sinusoidy

W przypadku fali prostokątnej przy 1 kHz z cyklem roboczym mniejszym lub równym 10%, który jest próbkowany przy 10 kHz, nie rozumiesz wejścia.

Najpierw musisz rozłożyć przebieg na szereg Fouriera, aby dowiedzieć się, jakie są amplitudy składowych harmonicznych. Prawdopodobnie będziesz zaskoczony, że harmoniczne tego sygnału są dość duże po 5 kHz! (Zasada kciuka trzeciej harmonicznej równa 1/3 tak silnej jak podstawowa, a piąta będąca 1/5 podstawowej, ma zastosowanie tylko do 50% kwadratowych fal cyklu roboczego )

Ogólna zasada dla sygnału komunikacyjnego polega na tym, że złożona szerokość pasma jest taka sama jak odwrotność czasu twojego najmniejszego impulsu, więc w tym przypadku patrzysz na minimalną szerokość pasma 10 kHz (-5 kHz do 5 kHz) dla 10% cykl roboczy z podstawą przy 1 kHz (tj. 10 kb / s).

Tak więc zrujnuje Cię to, że te silne harmoniczne wyższego rzędu będą się składać i zakłócać (konstruktywnie lub destrukcyjnie) harmoniczne wewnątrzpasmowe, więc doskonale się spodziewasz, że możesz nie uzyskać dobrego próbkowania, ponieważ tak wiele informacji jest poza Nyquist zespół muzyczny.

$F_S + f$$F_S - f$
$F_S / 2$

$-F_S / 2$$F_S / 2$
$F_S$

$F_S / 2$

$F_S$$F_S / 2$

Twierdzenie jest w porządku. Twój sygnał NIE powinien zawierać częstotliwości równych lub wyższych niż połowa częstotliwości próbkowania, zgodnie z Nyquist. Shannon prawdopodobnie na to pozwala, ale jest to jego wersja twierdzenia, która prawdopodobnie powoduje dwuznaczność przy częstotliwości krytycznej.

Edycja (Re: głosowanie w dół za krótką odpowiedź?): Nie widzę potrzeby wyjaśniania samej metody próbkowania. Pytanie dotyczy zamieszania: „częstotliwość krytyczna jest zawarta w paśmie lub nie”, a jeśli sformułowanie twierdzenia Shannona zawiera błąd. Tak naprawdę (jak to widzę na światowej wiki). Lub najprawdopodobniej autorzy wiki zacytowali jego słowo nieprecyzyjnie. Nawiasem mówiąc, w tym wieku jest 4 niezależnych autorów tego twierdzenia, więc zamieszanie wśród osób uczących się pomysłu z losowych źródeł może się nasilić.

$N Hz$$\frac{1}{2}N$$1N$

$f=\dfrac{1}{2t}$

$f$$t$

Ale według Wikipedii:

Zasadniczo twierdzenie to pokazuje, że próbkowany sygnał analogowy o ograniczonym paśmie można doskonale odtworzyć z nieskończonej sekwencji próbek, jeśli częstotliwość próbkowania przekracza 2B próbek na sekundę, gdzie B jest najwyższą częstotliwością w oryginalnym sygnale.

Częstotliwość próbkowania dwa razy większa niż częstotliwość jest błędna - powinna być nieco ponad dwukrotnie wyższa. W ten sposób kolejne próbki przechwytują nieco inne części kształtu fali.

Podczas próbkowania z określoną szybkością F, każdy składnik częstotliwości f wygeneruje aliasy postaci kF + f i kF- f dla wszystkich wartości całkowitych k. W powszechnym użyciu nie ma składowych częstotliwości powyżej F / 2 podczas próbkowania sygnału, więc jedynymi składnikami w zakresie od 0 do F / 2 będą te, które były obecne w oryginalnym sygnale. Po próbkowaniu będą składowe sygnału powyżej F / 2 (generowane jako aliasy tych poniżej). Najbardziej kłopotliwe dla dowolnej częstotliwości f w oryginalnym sygnale będzie częstotliwość o częstotliwości F- f .

Zauważ, że jako częstotliwość fzbliża się do F / 2 od dołu, pierwsza częstotliwość aliasu zbliży się do F / 2 od góry. Jeśli wejście zawiera sygnał o częstotliwości F / 2-0,01 Hz, będzie alias na częstotliwości F / 2 + 0,01 Hz - zaledwie 0,02 Hz powyżej. Oddzielenie sygnałów pierwotnych i aliasowych będzie teoretycznie możliwe, ale w praktyce trudne. Próbkowany kształt fali pojawi się jako suma dwóch fal o jednakowej sile o niemal równej częstotliwości. Jako taka, jego amplituda wydaje się zmieniać wraz ze względną fazą fal o wyższej częstotliwości. W przypadku, gdy częstotliwość wejściowa wynosi dokładnie F / 2, częstotliwość aliasowa będzie również dokładnie F / 2. Ponieważ w ogóle nie będzie separacji częstotliwości między oryginałem a aliasem, separacja będzie niemożliwa. Zależność fazowa między sygnałami pierwotnym i aliasowanym określi amplitudę sygnału wynikowego.