Częstotliwości ujemne: co to jest?

Wiem, że gdy częstotliwość wynosi 0, napięcie będzie czystym DC. Ale w DSP i komunikacji cyfrowej widziałem wzmiankę o ujemnych częstotliwościach, których nie do końca rozumiem. Na przykład, jak zakres częstotliwości od do . Jak częstotliwość może stać się ujemna?$-f_{0}$$f_{0}$

Wyprowadzenie

$cos(\omega t) = \frac{1}{2} \left(e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}\right)$

wszystko jest bardzo miłe i takie (dzięki, Mark), ale nie jest zbyt intuicyjne.
Sinus można przedstawić w płaszczyźnie zespolonej jako wektor obrotowy:

Możesz zobaczyć, jak wektor składa się z części rzeczywistej i urojonej. Ale to, co widzisz, gdy oglądasz sygnał na swoim lunecie, jest prawdziwym sygnałem, więc jak możesz pozbyć się części urojonej, tak że wektor pozostaje na osi X, zwiększając i zmniejszając? Rozwiązaniem jest dodanie lustrzanego odbicia obracającego się wektora, obracającego się zgodnie z ruchem wskazówek zegara zamiast w lewo.

Części urojone mają tę samą wielkość, ale przeciwne znaki, więc po dodaniu obu wektorów części urojone wzajemnie się znoszą, pozostawiając czysto prawdziwy sygnał.
Jeśli obrót w lewo oznacza częstotliwość dodatnią, obrót w prawo musi oznaczać częstotliwość ujemną.

W rzeczywistości nie może.

Pełna odpowiedź zajęłaby cały podręcznik, ale podstawową odpowiedzią jest:

$e^{j\omega t}$ ), ponieważ jest to matematycznie wygodne.

To prowadzi do formuły Eulera:

$e^{j\omega t} = cos(wt) + j \cdot sin(\omega t)$

Co prowadzi do jego odwrotności:

$cos(\omega t) = \frac{1}{2} \cdot (e^{j\omega t} + e^{-j\omega t})$

Co sugeruje, że zarówno dodatnia, jak i ujemna częstotliwość jest obecna i właśnie tam pojawia się podczas dyskusji o przetwarzaniu sygnału.

Ja widzę to tak:

$e^{i\omega t}$

Można go również narysować mniej intuicyjnie w ten sposób (po lewej stronie) i ma jednostronne spektrum jak to (po prawej stronie):

Częstotliwość ujemna oznacza po prostu, że helisa obraca się w przeciwnym kierunku, a zamiast tego widmo jest funkcją delta po ujemnej stronie osi częstotliwości.

Jeśli dodasz złożoną sinusoidę o częstotliwości dodatniej z jedną o tej samej, ale ujemnej częstotliwości, przeciwnie obracające się części urojone zostaną anulowane i powstanie prawdziwa fala sinusoidalna.

W tym przypadku nie ma sensu mówić o fali sinusoidalnej o częstotliwości ujemnej, ponieważ fala sinusoidalna zawiera zarówno częstotliwości dodatnie, jak i ujemne.

(Naprawdę chciałbym zrobić lepsze ilustracje tego, zamiast kopiować te stare, złej jakości, ale próbowałem i nie jest to łatwe. Myślę, że schemat 3D widm powyżej jest w rzeczywistości nieprawidłowy. Delta funkcje powinny być równoległe do płaszczyzny rzeczywistej / urojonej i prostopadłe do osi częstotliwości).