Udowadnianie twierdzenia De Finetti

$\Omega = {\omega_1,\cdots,\omega_s}$ $2 \leq s < \infty$ $x:\Omega \rightarrow X$ $X \subseteq \mathbb{R}^s$ $\succcurlyeq$ $X$

Addytywność:

\forall x, y, z \in X, then x ≽ y ⟺ x + z ≽ y + z

$\forall x, y, z \in X, \text{then} \ x \succcurlyeq y \iff x+z \succcurlyeq y+z$

Monotoniczność

\forall x, y \in X, then x \geq y ⟺ x ≽ y

$\forall x, y \in X, \text{then} \ x \geq y \iff x \succcurlyeq y$

Non-Triviality

\exists x, y \in X, s.t. x ≽ y

$\exists x, y \in X, \text{s.t.} \ x \succcurlyeq y$

Twierdzenie De Finetti

$\succcurlyeq$ na jest racjonalny, ciągły, addytywny, monotoniczny i nietrywialny wtedy i tylko wtedy, gdy $X$

\exists p \in R^{s} ∖ 0 = {p \in R^{s} ∣ \sum_{i = 1}^{s} p_{i} = 1, p_{i} \in [0, 1] \forall i}

$\exists p \in \mathbb{R}^s \setminus {0} = \{p \in \mathbb{R}^s \mid \sum^s_{i=1} p_i = 1, \ p_i \in [0,1] \ \forall \ i \}$

st , mamy $\forall x,y \in X$ $x \succcurlyeq y \iff p \cdot x \geq p \cdot y$

Ponadto p jest unikalny.

Więc mój profesor poprosił nas o udowodnienie twierdzenia De Finetti, w którym powiedziała nam, że:

Po pierwsze, udowodnij, że jest racjonalny, ciągły, addytywny, monotoniczny i nietrywialny. $\succcurlyeq$

(\exists p s.t. \forall x, y and x ≻ y \Leftrightarrow p x \geq p y)

$( \exists \ p \quad \text{s.t.} \ \forall x,y \ \text{and} \ x \succ y \Leftrightarrow px \geq py )$

Użyj wyjątkowości pz dowodem sprzeczności, używając:

Załóżmy , a następnie załóżmy, że ale . Załóżmy że ale . $\succcurlyeq$ $x \succcurlyeq y$ $px < py \ \forall \ p$ $px \geq py, \ y$ $y \succ x \ \forall \ p$

Po drugie, pozwól , a następnie pokaż wstrzymania właściwości. $U(\lambda) = px$

Następnie z wyjątkowością , niech $p$ $s = 2 \rightarrow ( p , 1- p)$

Rozważmy , a następnie załóżmy, że nie jest unikalny . $x \sim y$ $p$ $\rightarrow$ $( p + \epsilon , 1 - p - \epsilon )$

$\epsilon \in \mathbb{R}$

Pytanie brzmi więc: jak zbudować , aby był zgodny z modelem? Jakakolwiek pomoc byłaby mile widziana w zastosowaniu konturu tego dowodu. $\epsilon$

preferences expected-utility

— Spector White
źródło

Być może moja niewiedza jest winna, ale nie byłem w stanie znaleźć „twierdzenia De Finetti”, które nie dotyczyłoby prawdopodobieństwa, podczas gdy to pytanie nie jest. Bez twierdzenia to pytanie jest nieco mętne. Na przykład podejrzewam, że w drugim zdaniu brakuje słowa „jeśli”. Z dostępnych informacji wynika, że każdy jest spójny, ale może nie być słowem, którego tu szukasz.

ϵ

$\epsilon$

— Giskard

Znam twierdzenie, o którym mówi ta osoba. Wprowadzę kilka zmian.

— Kawaleria Kitsune

Oto moja próba udowodnienia:

Najpierw spójrzmy na przypadek „jeśli”.

Załóżmy, że na jest racjonalny, ciągły, addytywny, monotoniczny i nietrywialny. $\succcurlyeq$ $X$

ALE

Przypadek 1: i $x \succcurlyeq y$ $p \cdot x < p \cdot y \ \forall p$

Załóżmy, że $p = \{\frac{1}{s} \cdots \frac{1}{s}\}$

p \cdot x < p \cdot y ⟹ \frac{1}{s} \sum_{i = 1}^{s} x_{i} < \frac{1}{s} \sum_{i = 1}^{s} y_{i} ⟹ \sum_{i = 1}^{s} x_{i} < \sum_{i = 1}^{s} y_{i}

$p \cdot x < p \cdot y \implies \frac{1}{s} \sum^s_{i=1} x_i < \frac{1}{s} \sum^s_{i=1} y_i \implies \sum^s_{i=1} x_i < \sum^s_{i=1} y_i$

Więc przez monotoniczność $x \succcurlyeq y \iff x \geq y$

$x \geq y \iff x_i \geq y_i \ \forall i$ z definicji

ale potem co jest sprzecznością. $\sum^s_{i=1} x_i \geq \sum^s_{i=1} y_i$

Przypadek 2: i $p \cdot x \geq p \cdot y$ $y \succ x \ \forall p$

Podobnie wybierz tę samą . $p$

p \cdot x \geq p \cdot y ⟹ \sum_{i = 1}^{s} x_{i} \geq \sum_{i = 1}^{s} y_{i}

$p \cdot x \geq p \cdot y \implies \sum^s_{i=1} x_i \geq \sum^s_{i=1} y_i$

$y \succ x \iff y > x$ przez monotoniczność

ale wtedy co jest sprzecznością. $\sum^s_{i=1} x_i < \sum^s_{i=1} y_i$

Spójrzmy teraz na przypadek „tylko jeśli”.

Niech i st następnie $u(x) = p \cdot x$ $\exists \ p$ $\forall x,y$ $x \succcurlyeq y \iff p \cdot x \geq p \cdot y$

Teraz chcemy pokazać nasze pięć właściwości i wyjątkowość . $p$

Powyższe implikuje to

$\exists \ p$ st , a następnie $\forall x,y$ $x \succcurlyeq y \iff U(x) \geq U(y)$

Mamy z definicji reprezentację funkcji narzędzia . Jest to podstawowy dowód od początku twojej klasy, prawdopodobnie reprezentacja oznacza racjonalność .

Możemy również powiedzieć, że jeśli jest ciągłe w a reprezentuje na , oznacza to, że preferencje są ciągłe . $U(x)$ $X$ $U(x)$ $\succcurlyeq$ $X$

$x \succcurlyeq y \iff p \cdot x \geq p \cdot y \iff p \cdot (x + z) \geq p \cdot (y + z) \iff x + z \succcurlyeq y + z \quad \forall x,y,z \in X$

To pokazuje addytywność .

Załóżmy teraz, że monotonia nie ma zastosowania. Załóżmy, że $x \succcurlyeq y \implies p \cdot x \geq p \cdot y$

ale dodatkowo co jest sprzecznością. $x < y$ $\implies p \cdot x < p \cdot y$

Załóżmy, że nietrywialność się nie sprawdza. Załóżmy, , gdzie , więc i są unikatowe. Ale teraz mamy monotonię. $x \sim y \ \forall \ x, y$ $x \neq y$ $x$ $y$

ale oraz $x > y \iff x \succ y$ $y > x \iff y \succ x$

Dla wyjątkowości , budując kontur, który podałeś, wybierz gdzie zarówno dla jak i $p$ $x, y \in X$ $x \sim y$ $p$ $p' = (p + \epsilon, 1-p- \epsilon)$

To może być prawdą, jeżeli tylko lub i nie są unikalne, czyli . Będziemy wyklucza trywialny przypadek, w którym i nie są unikalne i pokazać (a zatem i ) $\epsilon = 0$ $x$ $y$ $x_i = y_i \ \forall i$ $x$ $y$ $\epsilon = 0$ $p = p'$

p x_{1} + (1 - p) x_{2} = p y_{1} + (1 - p) y_{2}

$px_1 + (1-p)x_2 = py_1 + (1-p)y_2$ i Drugie równanie implikuje

(p + ϵ) x_{1} + (1 - p - ϵ) x_{2} = (p + ϵ) y_{1} + (1 - p - ϵ) y_{2}

$(p+\epsilon)x_1 + (1-p-\epsilon)x_2 = (p+\epsilon)y_1 + (1-p-\epsilon)y_2$

p x_{1} + ϵ x_{1} + (1 - p) x_{2} - ϵ x_{2} = p y_{1} + ϵ y_{1} + (1 - p) y_{2} - ϵ y_{2}

$px_1 + \epsilon x_1 + (1-p)x_2 - \epsilon x_2 = py_1 + \epsilon y_1 + (1-p)y_2 - \epsilon y_2$

Odejmij pierwsze równanie z tego równania.

ϵ x_{1} - ϵ x_{2} = ϵ y_{1} - ϵ y_{2}

$\epsilon x_1 - \epsilon x_2 = \epsilon y_1 - \epsilon y_2$

ϵ (x_{1} - x_{2}) = ϵ (y_{1} - y_{2})

$\epsilon (x_1 - x_2) = \epsilon (y_1 - y_2)$

Zastanów się, czy i dla dowolnego . $x_1 + \delta = y_1$ $x_2 + \delta = y_2$ $\delta > 0$

Wtedy różnice i są równe, ale pakiet x będzie miał wyższe wyniki pieniężne w dowolnym stanie, więc . Sprzeczność. $x_1 - x_2$ $y_1 - y_2$ $x \succ y$

Podobnie, jeśli i , to , co znowu jest sprzecznością z $x_1 = y_1 + \delta$ $x_2 = y_2 + \delta$ $y \succ x$ $x \sim y$

Zatem . $\epsilon = 0$

$\square$

— Kawaleria Kitsune
źródło