Marshallian Demand for Cobb-Douglas

Próbując zmaksymalizować narzędzie posiadające funkcję użyteczności Cobb-Douglasa $u=x_1^ax_2^b$ , przy $a+b = 1$ , znalazłem następujące formuły ( Wikipedia: Marshallian Demand ):

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

W jednej z moich książek znajduję te formuły w tym samym celu:

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

Z $p_i$ : ceny towarów; $m$ : budżet

Przetestowałem je wszystkie i dały one takie same wyniki.
Czy są jakieś różnice?

Ponieważ równania są dokładnie takie same. Podstawiając do a + b o 1 w trzecim i czwartym równań daje pierwszy i drugi równań.$a + b=1$$a+b$$1$

W ten sposób przechodzisz od pierwszego równania do drugiego. twoja funkcja użyteczności to ponieważ a + b = 1 Lekko zmienię na a i (1-a) Aby zoptymalizować te dwie opcje, musisz: zmaksymalizować użyteczność, zapisz zmienne wyboru.$u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$$a+b=1$

z zastrzeżeniem z prawem Walrasa. Zasadniczo, w celu optymalizacji użyteczności, wszystkie pieniądze zostaną wydane.$p_1x_1 + p_2x_2 = w$

Funkcje Cobba-Douglasa są zazwyczaj trudne w przypadku problemów związanych z optymalizacją. Można zastosować transformację monotoniczną, która zachowuje porządkowe właściwości funkcji.

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

Zostanie to użyte zamiast tego. Zastosowane zostanie to samo ograniczenie budżetowe.

Warunki Lagrange i Pierwsze Zamówienie są poniżej

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

manipulowanie warunkami pierwszego rzędu powoduje

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

podstawienie w ograniczeniu budżetowym $p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

i

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

Korzystając z tych wyników, możemy opracować optymalne pakiety zużycia i x 2 dla danej kombinacji cen i bogactwa.$x_1$$x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$