Preferowanie loterii bez aksjomatów niezależności

Załóżmy, że zbiór wyników można uszeregować w następującej kolejności: 1 \ succ 2 \ succsim \ cdots \ succsim N . Ponadto załóżmy, że osoba podejmująca decyzje ma pierwszeństwo przed loteriami nad tymi wynikami. Załóżmy, że preferencja w stosunku do loterii jest racjonalna, ciągła, ale niekoniecznie zgodna z aksjomatem niezależności .$N$$1\succ 2\succsim\cdots\succsim N$

Czy wynika z tego, że najlepszą loterią w tym przypadku jest loteria zdegenerowana $(1,0,\dots,0)$ ?

Co jeśli naruszony zostanie aksjomat niezależności ?

Nie, niekoniecznie. Bez aksjomatu niezależności (lub czegoś innego, aby go zastąpić) niewiele można wnioskować na temat preferencji dotyczących loterii (nie-zdegenerowanych) na podstawie znajomości preferencji dotyczących samych wyników.

Na przykład, niech będzie prawdopodobieństwem wyników . Następnie preferencje dotyczące loterii reprezentowane przez funkcję narzędziową$p^L_n$$n \in \{1, 2, 3\}$$\succeq^*$

$$U(L) = p^L_1 + \beta [p^L_2p^L_3],$$

są ciągłe i racjonalne, ale nie spełniają aksjomatu niezależności. Dla wystarczająco dużego, nawet nie jest tak, że jest najlepszą loterią, chociaż i .$\beta$$(1,0,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,1,0)$$(1,0,0) \succ^* (0,0,1)$

Aby zobaczyć dlaczego, obserwuj to

$$U(1,0,0) = 1,$$ $$U(0,1,0) = 0,$$ $$U(0,0,1) = 0,$$

Jednak dla ,$\beta > 4$

$$U\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) > 1 .$$

Naruszenie aksjomatu niezależności wynika z faktu, że gdy ,$\beta > 4$

$$[1,0,0] \succ [0,1,0] ,$$

mimo że

$$\left[0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right] \succ \left[ \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right].$$