Kiedy można bezpiecznie mówić o zmniejszeniu użyteczności krańcowej?

Jedną rzeczą, o której często słyszę, jest mówienie o malejącej użyteczności krańcowej - chodzi o to, że dodatkowe jednostki dobra stają się stopniowo mniej atrakcyjne, im więcej jednostek tego dobrego już ma.

Jednak zawsze sprawiało to, że czułem się trochę nieswojo z powodu zwykłej użyteczności. Jeśli weźmiemy pod uwagę trywialny przypadek świata, w którym istnieje tylko jedno dobro o użyteczności spełniającej (malejąca użyteczność krańcowa), wówczas można wyraźnie skonstruować rosnąca funkcja f taka, że (f \ circ u) jest liniowa w x . Ponadto, ponieważ funkcje użyteczności są niezmienne dla transformacji monotonicznych, (f \ circ u) jest funkcją użyteczności, która reprezentuje te same preferencje co u (ale teraz ma stałą użyteczność marginalną). Dlatego w świecie z jednym dobrem wydaje się, że mówienie o malejącej użyteczności krańcowej nigdy nie ma sensu.$u(x)$$u'(x),\ u''(x)<0$$f$$(f\circ u)$$x$$(f\circ u)$$u$

Moje pytanie brzmi: rozważ rynek z towarami $L>1$ . Czy istnieje formalny warunek, w którym możemy bezpiecznie mówić o zmniejszeniu użyteczności krańcowej? To znaczy, czy istnieje klasa preferencji, że każda poprawna reprezentacja narzędzia, $u(\mathbf{x})$ , ma $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ dla niektórych $i$ ?

Alternatywnie, czy jest jakiś prosty dowód, że dla $L>1$ istnienie reprezentacji narzędzia z $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ dla niektórych $i$ koniecznie oznacza, że ​​wszystkie reprezentacje narzędzia mają $u_{ii}(\mathbf{x})<0$ ?

Pojęcie „użyteczności krańcowej” (a zatem jej zmniejszenia) ma znaczenie jedynie w kontekście użyteczności kardynalnej .

Załóżmy, że mamy porządkowy indeks użyteczności na jednym i trzy ilości tego dobra, , przy . Preferencje są dobrze przestrzegane i spełniają warunki regularności testu porównawczego, więc$u()$$q_1<q_2<q_3$$q_2-q_1 = q_3-q_2$

Jest to zwykła użyteczność. Znaczenie ma tylko ranking, a nie odległości. Więc odległości i nie mają interpretacja zachowań / ekonomiczny . Jeśli nie, to też nie stosunki$u(q_2) - u(q_1)$$u(q_3) - u(q_2)$

Ale granicami tych stosunków, gdy mianownik idzie do zera, byłaby definicja pochodnej funkcji . Tak więc pochodna jest pozbawiona interpretacji ekonomicznej / behawioralnej, a więc porównanie dwóch przypadków funkcji pochodnej nie wytworzyłoby żadnej znaczącej treści. $u()$

Oczywiście nie oznacza to, że pochodne nie istnieją jako pojęcia matematyczne. Mogą istnieć, jeśli spełnia warunki niezbędne do zróżnicowania. Można więc zadać czysto matematyczne pytanie „pod jakim warunkiem funkcja reprezentująca użyteczność porządkową ma ściśle ujemną drugą pochodną ” (lub ujemny określony Hesjan dla przypadku wielowymiarowego), starając się nie interpretować jej jako „malejącej użyteczności krańcowej” o treści ekonomicznej / behawioralnej , ale jako tylko matematyczna właściwość, która może odgrywać pewną rolę w modelu, który bada. $u()$$u()$

W takim przypadku wiemy, że:
1) Jeśli preferencje są wypukłe, indeks użyteczności jest funkcją quasi-wklęsłą
2) Jeśli preferencje są ściśle wypukłe, indeks użyteczności jest ściśle quasi-wklęsły

Ale quasi-wklęsłość jest innym rodzajem własności niż wklęsłość: quasi-wklęsłość jest właściwością „porządkową” w tym sensie, że jest zachowywana przy rosnącej przemianie funkcji.

Z drugiej strony wklęsłość jest właściwością „kardynalną”, w tym sensie, że niekoniecznie musi zostać zachowana przy rosnącej transformacji.
Zastanów się, co to oznacza: zakładamy, że możemy znaleźć charakterystykę preferencji takich, które mogą być reprezentowane przez o indeksie użytkowy, który jest wklęsła jako funkcja. Następnie możemy znaleźć i wdrożyć jakąś rosnącą transformację tego wskaźnika użyteczności, która wyeliminuje właściwość wklęsłości.

To, że pytasz o „bezpieczeństwo”, oznacza, że ​​uważasz, że jakiś wynik jest zagrożony. Ta odpowiedź może zostać poprawiona, jeśli możesz określić wynik, który możesz mieć na myśli. W przeciwnym razie weźmy jako przykład pierwsze i drugie twierdzenie o dobrobycie. Nie polegają na malejącej użyteczności krańcowej.

Jeśli obawiasz się wyników dotyczących preferencji względem niepewności (pomysłów na temat awersji do ryzyka itp.), Pamiętaj, że chociaż standardowa reprezentacja funkcji użyteczności preferencji bez niepewności jest unikalna aż do dodatniej transformacji monotonicznej, reprezentacja funkcji użyteczności Von Neumanna-Morgensterna preferencji względem niepewności jest wyjątkowa tylko do pozytywnych przekształceń afinicznych .

EDYCJA: Dodatkowe uwagi.

Definicja funkcji użyteczności jest podana w następujący sposób (z Zaawansowanej teorii mikroekonomicznej Jehle i Reny, 2011):