Czy istnieje sposób na powiązanie twierdzenia Berge'a o maksimum z twierdzeniem Obwiednia?

8

Twierdzenia Berge'a

Niech , będzie wspólną funkcją ciągłą, być ciągłą (obie górna i dolna półksiężyca) kompaktowa wartość. Funkcja maksymalizująca wartość i maksymalizator to Następnie jest ciągły, a jest górna półksiężyca. $X \in \mathbb R^m, \Theta \in \mathbb R^n$ $f : X \times \Theta \to \mathbb R$ $C : \Theta \rightrightarrows X$
$V (θ) := max_{x \in X} f (x, θ)$ $V(\theta) := \max_{x \in X}f(x, \theta)$ $C^{*} (θ) := {x \in C (θ) ∣ f (x, θ) = V (θ)}$ $C^\ast(\theta):=\{x \in C(\theta) \mid f(x, \theta )=V(\theta)\}$ $V : \Theta \to \mathbb R$ $C^\ast :\Theta \rightrightarrows X$

Według Varian's Microeconomic Analysis (1992), str. 490, twierdzenie o kopercie jest po prostu:

$\frac{d M (a)}{d a} = \frac{\partial f (x, a)}{\partial a} ∣_{x = x (a)}$ $\frac{dM(a)}{da}=\frac{\partial f(x,a)}{\partial a}\mid_{x=x(a)}$

$x(a)$ jest maksymalizatorem $f(\cdot, a)$ .

Wydaje mi się, że twierdzenie o kopercie pociąga za sobą twierdzenie Berge'a, ale wyprowadzenie wygląda na znacznie prostsze. Czy istnieje związek między nimi?

mathematical-economics academic-graduate optimization

— Epikur
źródło

Nie wygląda na to, aby obaj byli zajęci tym samym celem. Berge's ustala właściwości funkcji wartości i zestawu maksymalizatorów. Koperta ma na celu pokazanie, jaki jest efekt zmiany parametru ... być może mógłbyś rozwinąć rodzaj intrygi między tymi dwoma, które Cię intrygują.

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Przepraszam za niejasność mojego pytania. Teraz dowiedziałem się, że ten queston wywodzi się z mojej niejasnej pamięci o zdaniu 2 w Lucas (1978). Teraz mogę sformułować to dokładniej. Jakie warunki dotyczące funkcji użyteczności i ograniczenia pozwalają nam zastosować twierdzenie obwiedni dopiero po ustaleniu ciągłości funkcji wartości przez twierdzenie Berge'a? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

— Epikur

Nie sądzę, że musisz koniecznie „ustalić ciągłość funkcji wartości”, aby użyć twierdzenia o obwiedni. Uważa, że kluczową częścią jest kwestia kontroli . Zobacz Twierdzenie 2 na stronie Wikipedii. Tam ciągłość V jest wynikiem. W każdym razie strona Wikipedii podaje te twierdzenia w całości. Powie ci, co musisz założyć, aby użyć twierdzenia. en.wikipedia.org/wiki/Envelope_theorem

C^{*}

$C^*$

— jmbejara

6

Są ze sobą powiązane i zwykle podlegają tej samej dyskusji, ale jak wspomina @Alecos w komentarzach, oba twierdzenia pokazują różne rzeczy.

Przypuszczam, że szukanym połączeniem jest fakt, że jeśli pochodna istnieje, dlatego, że odmienność oznacza ciągłość, możesz być w stanie uzyskać z niej część twierdzenia o maksimum. Aby jednak porównać i przeciwstawić dwa twierdzenia, nie należy po prostu patrzeć na wyniki. Musisz także przyjrzeć się założeniom. Na przykład, twierdzenie o maksimum nie zakłada żadnej różniczkowalności. Twierdzenie o obwiedni ma (przynajmniej niektóre jego formy). W każdym razie założenia, które dotyczą każdego z nich, są różne (niektóre silniejsze, inne słabsze).

{\frac{\partial f (x, a)}{\partial a} |}_{x = x (a)}

$\left .\frac{\partial f(x, a)}{\partial a} \right |_{x=x(a)}$

Jest też to. Twierdzenie o obwiedni nie mówi ci nic o funkcji kontrolnej. Dlatego zdecydowanie nie będziesz w stanie uzyskać wyniku, że jest górną półkulistą. $C^*$

— jmbejara
źródło

4

Cytując OP z komentarza

Jakie warunki dotyczące funkcji użyteczności i ograniczenia pozwalają nam zastosować twierdzenie obwiedni dopiero po ustaleniu ciągłości funkcji wartości przez twierdzenie Berge'a? people.hss.caltech.edu/~pbs/expfinance/Readings/Lucas1978.pdf

W cytowanym dokumencie Lucas (1978), Propozycja 1 to potwierdza

wprowadź opis zdjęcia tutaj

gdzie to funkcja wartości, a to jej definicja. Wygląda więc na to, że ciągłość funkcji Price jest tutaj wyszczególniona jako warunek, ale wcześniej w pracy Lucas definiuje funkcję Utility jako funkcję nieujemną, która jest $v(z,y;p)$ $(i)$

stale różnicowalne, ograniczone, rosnące i ściśle wklęsłe

Twierdzenie 2 artykułu ustanawia zróżnicowanie funkcji wartości, nie wymagając dalszych założeń.

— Alecos Papadopoulos
źródło