Jaki jest przykład funkcji użyteczności, w której jeden towar jest gorszy?

Powiedzmy, że konsument ma standardową wypukłą, monotoniczną preferencję w stosunku do jabłek i bananów.

(Aktualizacja: Chciałbym, aby preferencje były jak najbardziej „standardowe”. Tak więc idealnie mamy wszędzie MRS i wszędzie „więcej znaczy lepiej”).

Powiedzmy, że jego preferencje mogą być reprezentowane przez jakąś funkcję użyteczności $u(A,B)$ . Musi spełnić pewne ograniczenia budżetowe $p_AA+p_BB=y$ , gdzie $y$ to jego dochód.

Zatem jaki jest przykład funkcji narzędzia, w której $\frac{\partial A}{\partial y}<0$ , przynajmniej w pewnych okolicznościach?

To wydaje mi się bardzo proste pytanie, ale krótko Googling nie jestem w stanie niczego znaleźć.

utility preferences

— Kenny LJ
źródło

Odpowiedzi:

Towar nie może być gorszy w całym zakresie dochodów.

Artykuł Wygodna funkcja użyteczności z zachowaniem Giffena pokazuje, że dla osoby z użytecznością formularza:

U (x, y) = α_{1} \ln (x - γ_{x}) - α_{2} \ln (γ_{y} - y)

$U(x,y) = \alpha_1 \ln(x-\gamma_x)- \alpha_2 \ln(\gamma_y - y)$

X jest gorszy, jeśli $\gamma_x$ i $\gamma_y$ są dodatnie, $0<\alpha_1<\alpha_2$ , aw dziedzinie $x>\gamma_x$ i $0\leq y<\gamma_y$ .

U (x, v) = x + \ln (v)

$U(x,v) = x + \ln(v)$

w

$w$

v^{*} = min (P_{x} / P_{V}, w)

$v^* = \min(P_x / P_V, w)$

w > P_{x} / P_{V}

$w>P_x / P_V$

v

$v$

Znalazłem inną funkową formę funkcjonalną dla funkcji użyteczności, w której jedno dobro jest gorsze, ale ma również rosnącą marginalną użyteczność w stosunku do drugiego dobra: dobro gorsze i nowa mapa obojętności

U = A_{1} \ln (x) + y^{2} / 2

$U = A_1 \ln(x) + y^2 /2$ Ta funkcja daje zwariowaną mapę obojętności.

Klasycznym przykładem dla mnie gorszych dóbr są rzeczy takie jak tanie jedzenie, w którym przepyszne jedzenie, które jest znacznie droższe, wypycha je, ponieważ istnieje dodatkowe ograniczenie (pojemność żołądka), które ostatecznie wiąże. Powinno być łatwo możliwe podać przykład, w którym niższość jest konsekwencją tego drugiego ograniczenia, a nie funkcji użyteczności.

Zaktualizuj z innym przykładem:

Artykuł Przypadek „Giffen Good” (Spiegel (2014)) pokazuje, że dla osoby z użytecznością formy: gdzie i są wartościami stałymi i dodatnimi.

U = {\begin{matrix} α X - β X^{2} / 2 + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & 0 \leq X \leq α / β \\ α^{2} / 2 β + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & X > α / β \end{matrix}}

$U = \begin{Bmatrix} \alpha X - \beta X^2 / 2 + \lambda Y + \delta Y^2 / 2 & for & 0\leq X\leq \alpha/\beta \\ \alpha^2 /2 \beta + \lambda Y + \delta Y^2 /2 & for& X > \alpha/\beta\end{Bmatrix}$

α, β, λ,

$\alpha, \beta, \lambda,$

δ

$\delta$

Jednak, podobnie jak w powyższych funkcjach, ta funkcja użyteczności ma wzrost MU w jednym towarze (Y). Jest to najwyraźniej powszechne w ustawieniach Giffen:

W przypadku dodatkowej funkcji użyteczności, w której krańcowe użyteczności wszystkich towarów maleją wraz z konsumpcją towarów, to znaczy, krańcowa użyteczność dochodu zmniejsza się, wszystkie towary są normalne i zastępują się nawzajem netto. Jeśli jednak dla jakiegoś dobra (w naszym przypadku dobrego Y) użyteczność krańcowa jest dodatnia i rośnie, a dla innych towarów użyteczność krańcowa maleje (w naszym przypadku dobre X), to krańcowa użyteczność dochodu rośnie. Dobro, które wykazuje rosnącą użyteczność krańcową, jest dobrem luksusowym, podczas gdy dobro, które wykazuje malejącą użyteczność krańcową, jest dobrem gorszym. Te cechy zostały udowodnione przez Liebhafsky'ego (1969) i Silberberga (1972) i wen: wykorzystane do opracowania powyższej funkcji użyteczności, która ilustruje przypadek dobra Giffen.

— BKay
źródło

Jednym z problemów związanych z tą funkcją jest to, że nie jest to całkiem standardowa funkcja narzędziowa. Jak pisze sam autor, „w przypadku dobrego Y użyteczność krańcowa wzrasta, gdy zużywa się jej więcej”.

— Kenny LJ

Jeśli masz dodatkowe wymagania dotyczące formy funkcjonalnej, zalecamy dodanie ich do pytania, aby poprawić jakość otrzymywanych odpowiedzi.

— BKay

Zrobiłem: stwierdziłem, że preferencje muszą być wypukłe.

— Kenny LJ

Przepraszam.

— BKay

Daj nam kontynuować tę dyskusję w czacie .

— BKay

Zobaczmy, co implikuje niższość jednego dobra w przypadku dwóch dobrych. Patrz „Struktura ekonomii” Silberberga (wciąż jeden z najlepszych podręczników mikroekonomii dla studentów, jaki kiedykolwiek napisano), rozdz. 10 po więcej szczegółów.

Maksymalizację użyteczności opisuje (gwiazdki oznaczają poziomy optymalne)

U_{A} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{A} \equiv 0

$U_A(A^*,B^*) - \lambda^*p_A \equiv 0$

U_{B} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{B} \equiv 0

$U_B(A^*,B^*) - \lambda^*p_B \equiv 0$

y - p_{A} A^{*} - p_{B} B^{*} \equiv 0

$y- p_AA^* - p_BB^* \equiv 0$

i zwróć uwagę na użycie symbolu tożsamości zamiast zwykłej równości - te relacje zawsze utrzymują się na optymalnym poziomie. Następnie możemy rozróżnić obie strony i zachować tożsamość. Zrób to i rozwiąż układ równań , aby określić różne pochodne, a przekonasz się, że jeśli dobre jest gorsze, , to musimy mieć że $3 \times 3$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

p_{A} U_{B B}^{*} > p_{B} U_{A B}^{*}

$p_AU^*_{BB}> p_BU^*_{AB}$

Jeśli jesteśmy gotowi zaakceptować , to częściowy może wynosić zero, i możemy mieć funkcję użyteczności taką jak ta wymieniona w odpowiedzi @BKay. $U_{BB} >0$ $U_{AB}$

Ale jeśli chcemy utrzymać , to musi być tak, że , pochodna cząstkowa funkcji użyteczności musi być również ściśle ujemna (a więc nie zerowa). To z kolei implikuje preferencje, których nie można oddzielić , addytywnie lub mnożąc. $U_{BB} <0$ $U_{AB}$

Być może możesz rozważyć coś takiego

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

i wszystkie cztery parametry dodatnie. Na przykład dla wartości mapa obojętności jest $a=5, k=0.4, b=0.2, h=0.8$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Moja hipoteza jest taka, że dla ty może być w stanie mieć wszystkie standardowe konfigurację wraz z niższości (i odpowiednich wartości cen i innych parametrów, oczywiście). Znajdź warunki pierwszego rzędu, zamień pod względem w ograniczeniu budżetowym i użyj twierdzenia o funkcji niejawnej, aby określić warunki dotyczące parametrów wymaganych dla . I nie zapomnij sprawdzić, czy warunki te są zgodne z warunkami drugiego rzędu w celu maksymalizacji użyteczności. $0<h<1$ $A$ $B$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

KOMENTARZ 7 października 2015 r.
Wydaje mi się, że niektóre komentarze w tej odpowiedzi mylą kwestię reprezentacji preferencji i zachowania rankingu preferencji w transformacjach monotonicznych z właściwością „niższości” dobra. Preferencje i ich reprezentacja nie mają nic wspólnego z istnieniem ograniczenia budżetowego. Z drugiej strony „niższość” ma wszystko wspólnego z istnieniem ograniczenia budżetowego i jego wpływu na wybory (a nie preferencje) w miarę ich zmiany.

Transfomracja monotoniczna nie pozostawia wszystkiego „niezmienionego”. Rozważmy funkcję użyteczności i jej monotoniczną transformację . Łatwo zauważyć, że chociaż , mamy . Innymi słowy, transformacje monotoniczne mogą zachować ranking wiązek, ale nie oznacza to, że dają one te same relacje między towarami. I jak napisałem powyżej, właściwość „niższości” zależy od znaków i względnych wielkości drugich pochodnych cząstkowych użytej funkcji użyteczności, znaków i względnych wielkości, które zależą od faktycznej użytej formy funkcjonalnej. $V = A^k+ B^h$ $U =\ln(A^k+ B^h)$ $\frac {\partial^2 V}{\partial AB} = 0$ $\frac {\partial^2 U}{\partial AB} \neq 0$

— Alecos Papadopoulos
źródło

Czy daje takie same preferencje względem pakietów jak ? To tylko preferencje podobne do Cobba-Douglasa po tym, jak weźmiesz dziennik, który nie powinien wykazywać gorszości, ale raczej stały udział w budżecie.

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

U (A, B) = a A^{k} + b B^{h}

$U(A,B) = aA^k + bB^h$

— BKay

Funkcje użytkowe Cobba-Douglasa @ BKay reprezentują odrębne preferencje. Jak napisałem w mojej odpowiedzi, konieczne jest (choć niewystarczające) posiadanie nierozdzielności, aby móc mieć niższość. Ta szczególna forma funkcjonalna, w przeciwieństwie do form Cobba-Douglasa, ma tę właściwość nierozdzielności. Bez logarytmu tak nie jest. Każdemu zainteresowanemu pozostawiam to do dalszego zbadania.

— Alecos Papadopoulos

Dla przypomnienia, jak to zrobił @Bkay, jest monotoniczną transformacją . Więc oba reprezentują te same preferencje.

\ln [a A^{k} + b B^{h}]

$\ln [aA^k +bB^h]$

a A^{k} + b B^{h}

$aA^k +bB^h$

— Kenny LJ,

@KenyLJ Dla twojego pytania, które dotyczy form funkcjonalnych, które mogą odzwierciedlać gorszość, ważne jest to, czy forma funkcjonalna charakteryzuje się separowalnością, czy nie (jeśli ktoś chce zachować malejące drugie pochodne funkcji użyteczności).

— Alecos Papadopoulos

Alecos, to oszałamiające. Mówisz, że osoba o dokładnie takich samych preferencjach (jak to jest, ponieważ jest to transformacja monotoniczna) może wybrać różne pakiety konsumpcji, w zależności od tego, jak napiszesz jej funkcję użyteczności. Proszę ...

Bardzo trudne jest uzyskanie modeli wykonalnych o rozsądnych / realistycznych właściwościach. Ogólny przypadek goods podaje Sørensen w Heijman i in. (2012) , s. 1 100–3. Kolejny przykład dla dwóch towarów o ograniczonej domenie podaje Haagsma (2012) . Sprawdzenie tam zawartych referencji jest najłatwiejszym sposobem na uzyskanie znacznego zbioru funkcji narzędziowych dla towarów gorszych - choć wydaje się, że jest więcej literatury na temat towarów Giffen niż mniej wymagających niższych. $n$

Jeśli chodzi o poprzednią dyskusję na temat wypukłości preferencji, funkcje użyteczności, które dają pozytywne funkcje popytu po dodatniej transformacji monotonicznej, nie są quasiconcave, a zatem preferencje nie są wypukłe, biorąc pod uwagę, że quasiconcavity jest zachowany z dowolnym nie zmniejszającym się składem. To, że zasugerowana przez Alecosa Papadopoulosa nie jest Cobb-Douglas, powinno być łatwe do zauważenia.
Niemniej jednak, jeśli jest to quasiconcave, to da te same funkcje popytu (i takie same efekty cenowe i dochodowe) jak gdzie jest dodatni przekształcenie monotoniczne, niezależnie od . jest słabo rozdzielne lub nie pewien wyjątek: Przestroga dla wpływu na domenie. $u(x_1,x_2)$ $v(x_1,x_2)=f(u(x_1,x_2)$ $f$ $u$

— user_newbie10
źródło