Znalezienie funkcji zapotrzebowania na podstawie funkcji użyteczności min (x, y)

Jestem zdezorientowany co do konkretnego punktu dotyczącego znalezienia funkcji popytu. Wszystkie problemy w tym zestawie ćwiczeń dotyczą stosowania metody mnożników Lagrangiana. Ale nie jestem pewien, czy dotyczy to tego problemu.

Konfiguracja problemu

Rozważ konsumenta z funkcją narzędzia $u(x,y) = \min\lbrace x,y\rbrace$. Załóżmy, że podane są bogate i ceny .$w$$p_x = 1, p_y = \frac{1}{2}$

Moja praca

Jeszcze niewiele do zrobienia. Wszystko, co zrobiłem, to skonfigurowałem ograniczenie budżetowe .$w = xp_x + yp_y = x + \frac{1}{2} y$

Moje zamieszanie

Miałem już ustawione równanie mnożnika Lagrangiana, gdy nagle zdałem sobie sprawę, że moja funkcja użyteczności to funkcja . Na początku myślałem, że tej funkcji nie da się rozróżnić. Teraz myślę, że to nie jest różnicowalne, ale jest częściowo różnicowalne. Nadal nie jestem pewien.$\min$

Zgaduję że

Podejrzewam, że tak można częściowo rozróżnić na podstawie tego wątku$\min$

/math/150960/derivative-of-the-fx-y-minx-y

Ale podejrzewam, że moja odpowiedź będzie wymagać częściowego elementu lub czegoś takiego.

Moje pytanie

Czy mnożniki Lagrangian mają tu zastosowanie? Jeśli tak, to jak zdefiniować Lagrangian w kategoriach częściowych, tak jak sądzę, że będę musiał to zrobić? Jeśli nie można go rozróżnić, w jaki sposób można uzyskać funkcję popytu na podstawie funkcji lub a ?$\min$$\max$

Nie, nie powinieneś tutaj używać mnożników Lagrange'a, ale rozsądne myślenie. Załóżmy, że , dla konkretności . Niech . Następnie Dzięki temu konsumentka mogłaby zmniejszyć konsumpcję dobra 2, nie będąc w gorszej sytuacji. Z drugiej strony dla wszystkich mielibyśmy , aby konsument był lepszy zmniejszając zużycie drugiego dobra i wydając uwolnione pieniądze na pierwsze dobro. Optymalnie konsument nie może poprawić, więc optymalność wymaga . Oczywiste jest również, że konsumenci poprawiają się wzdłuż$x\neq y$$x<y$$\epsilon=y-x$$\min\{x,y\}=x=\min\{x,x\}=\min\{x,y-\epsilon\}.$$\delta>0$$\min\{x+\delta,y-\epsilon/2\}>x=\min\{x,y\}$$x=y$$x=y$Promień 45 °. Możesz więc po prostu użyć jako warunku optymalności, który zostanie zastąpiony ograniczeniem budżetowym i ominąć mnożniki Lagrange'a.$x=y$