Czy ciągłą preferencję można przedstawić za pomocą funkcji dyskontowej?

Mogę wymyślić kilka przykładów, ale jaki może być zarys dowodu?

utility preferences

— Zhang_anlan
źródło

Ciągła relacja preferencji może zawsze być reprezentowana przez funkcję ciągłą. Może być jednak reprezentowany przez inne funkcje (ciągłe nom).

— BB King

Rzeczywiście masz rację, że ciągła funkcja użyteczności może być reprezentowana przez funkcję nieciągłą. Nie jestem jednak pewien, co rozumiesz przez dowód poza przykładem; przykład jest tego dowodem.

Dla kompletności, oto przykład, który możemy wziąć $\succeq\,\subset \mathbb R \times \mathbb R$ $x \succeq y$ $x \geq y$

U (x) = {\begin{cases} x & if x < 4 \\ x + 1 & if x \geq 4 \end{cases}

$U(x) = \begin{cases} x &\text{ if } x < 4 \\ x + 1 &\text{ if } x \geq 4 \end{cases}$

⪰

$\succeq$

Każda taka funkcja musi mieć również ciągłą reprezentację.

— 201p
źródło