Istnieje holenderski argument książkowy pokazujący, że nieprzechodnie preferencje są w pewnym sensie „nieuzasadnione”, co uzasadnia, dlaczego stawiamy aksjomat przechodniości w definicji „racjonalnych preferencji”, jeśli chodzi o użyteczność braku niepewności.
Jeśli chodzi o funkcje użytkowe w loteriach, Von Neumann i Morgenstern dodatkowo tworzą loterie Niepodległości.
Czy istnieją holendersko-książkowe argumenty uzasadniające aksjomat niezależności?
Odpowiedzi:
Nie sądzę. Po pierwsze, można łatwo wyobrazić sobie przypadki, w których trzymałaby się holenderska książka, ale których aksjomat niezależności nie mógł. Rozważ wybory prezydenckie w 1992 r. Spełniłoby to warunki konieczne dla rozumowania bayesowskiego i dlatego domyślnie popiera argument Księgi holenderskiej, ale wyraźnie nie spełniłby kryterium niezależności nieistotnych alternatyw.
Jeśli ktoś zdecyduje się zagrać w wyborach, trudno sobie wyobrazić, dlaczego bukmacherzy nie mogą postawić spójnych szans. Z drugiej strony, jeśli pamięć służy mi poprawnie, większość ankietowanych wolała Busha od Clintona, ale wiele poszło za Clintonem.
Część tej dyskusji dotyczy jednak szczególnej formy konkretnego aksjomatu von Neumanna. Zasadniczo dodaje zero do preferencji binarnych. Istnieją loterie, takie jak te oparte na głosowaniu lub innych wydarzeniach z wyborem binarnym, w których forma aksjomatu von Neumanna jest po prostu nieistotna dla problemu.
Jeśli weźmiesz formę von Neumanna, oznacza to, że trzecia loteria nie ma wpływu na binarny wybór innej loterii, sugerując, że istnieją wystarczające fundusze na jej zakup. W wyborach masz tylko jeden wynik, nie możesz sobie pozwolić na dwóch prezydentów. Dzieje się tak tylko wtedy, gdy możesz rozwinąć „portfolio” loterii w dowolnej wypukłej kombinacji.
Jeśli nałożyłeś dodatkowe ograniczenia na rodzaj loterii, możesz być w stanie się tam dostać z holenderskiej książki aksjomatów, ale ma to więcej wspólnego z faktem, że zawsze możesz dodać zero do obu stron równania w zwykłej matematyce. Powinieneś być w stanie cofnąć się od funkcji narzędzia do preferencji i dojść do aksjomatu von Neumanna.
Oczywiście aksjomaty von Neumanna nie zakładają holenderskiego argumentu książkowego, więc niebezpiecznie się mieszacie i dopasowujemy. Z holenderskiej argumentacji książkowej można dojść do aksjomatów Kołmogorowa. Nie oznacza to, że powinieneś inaczej niż jako ćwiczenie umysłowe. W rzeczy samej Savage podjął Kołmogorowa za uzasadnienie personalistycznego prawdopodobieństwa.
Rodzi to nieco interesujące pytanie, czy aksjomat niezależności jest tak naprawdę aksjomatem i pod jakimi warunkami jest aksjomatem.