Jednorodny stopień 1 w funkcji użyteczności.

Pytanie

Moje rozwiązanie jest następujące. Proszę sprawdzić moje rozwiązanie. Jeśli popełniam błąd, proszę o informację. Naprawdę nie jestem pewien co do mojego rozwiązania. Dziękuję Ci

U (x) jest jednorodny stopnia pierwszego, tj. U (tx) = tu (x)

Po pierwsze pokazuję, że pośrednia funkcja użyteczności jest jednorodna stopnia pierwszego wm.

Dzięki maksymalizacji użyteczności

V (p, m) = maks. U (x) z zastrzeżeniem px m $\le$

tv (p, m) = max tu (x) z zastrzeżeniem px m $\le$

Ponieważ u (tx) = tu (x), tv (p, m) = max u (tx) z zastrzeżeniem px m $\le$

Następnie v (p, tm) = tv (p, m)

To pośrednia funkcja użyteczności jest jednorodna stopnia pierwszego.

Pokazuję, że funkcja wydatkowania jest jednorodna stopnia pierwszego w oparciu o poprzedni wynik.

wiem to

v (p, m) = v (p, e (p, u)) = u (x)

Ponieważ u (x) jest jednorodny stopnia pierwszego, a v (p, m) jest jednorodny stopnia pierwszego wm, v (p, e (p, u)) muszą być jednorodne stopnia pierwszego w e (p, u) .

Innymi słowy, v (p, e (p, u (tx))) = v (p, e (p, tu (x))) = tv (p, e (p, u)) utrzymuje iff e (p , tu (x)) = te (p, u (x))

tj. droga funkcja e (p, u) jest jednorodna stopnia pierwszego w jednostce.

Teraz pokażę, że popyt Marshalla x (p, m) jest jednorodny stopnia pierwszego wm.

Według tożsamości Roya

\frac{\partial v (p, m) / \partial p}{\partial v (p, m) / \partial m} = x (p, m)

$\frac{\partial v(p,m)/\partial p}{\partial v(p,m)/\partial m}=x(p,m)$

Według pierwszego wyniku, ponieważ v (p, m) jest jednorodny stopnia pierwszego wm, to x (p, m) jest jednorodny stopnia pierwszego wm.

teraz pokażmy, że popyt hicksa jest jednorodny stopnia jeden u.

wiem to

x (p, m) = x (p, e (p, u)) = h (p, u) ........ (1)

x (p, tm) = tx (p, m) = tx (p, e (p, u)) = x (p, te (p, u))

Ponieważ e (p, u) jest jednorodny stopnia pierwszego w drugiej części,

x (p, te (p, u)) = x (p, e (p, u (tx)) = h (p, u (tx)) = h (p, tu (x)) = th (p, u (x)) musi obowiązywać, ponieważ istnieje równość (1).

To jest popyt hicksowski jest jednorodny stopnia pierwszego u.

— brak 009
źródło

u (t x) = t u (x) ⟹ t v (p, m) = max u (t x) s . t . p (t x) \leq t m = v (p, t m)

$u(tx)=tu(x)\implies tv(p,m)=\max u(tx) \;\;s.t.\;\; p(tx)≤ tm = v(p,tm)$

Sposób, w jaki pokazujesz, że jest jednorodny stopnia pierwszego jest poprawny, ale powód, dla którego to sugeruje, że jest jednorodny stopnia pierwszego , nie jest bardzo precyzyjny w twoim argumencie . Na przykład dualność mówi nam gdzie jest tylko docelowym poziomem użyteczności, ale nie powinno być jak w twoim dowodzie. $v(p,m)$ $m$ $e(p,u)$ $u$

v (p, e (p, u)) = u,

$v(p,e(p,u))=u,$

u

$u$

u (x)

$u(x)$

Oto jeden z możliwych sposobów postępowania: Ponieważ jest jednorodny stopnia jeden , można go zapisać jako Zastosowanie równości daje co wyraźnie oznacza, że jest jednorodny stopnia pierwszego . Możesz użyć podobnego argumentu, aby udowodnić jednorodność popytu Hicksa. $v(p,m)$ $m$

v (p, m) = m v (p, 1) = m \tilde{v} (p) .

$v(p,m)=mv(p,1)=m\tilde v(p).$

v (p, e (p, u)) = u

$v(p,e(p,u))=u$

e (p, u) = \frac{u}{\tilde{v} (p)},

$e(p,u)=\frac{u}{\tilde v(p)},$

e (p, u)

$e(p,u)$

u

$u$

Biorąc to wszystko pod uwagę, proponuję udowodnić oryginalne oświadczenie bezpośrednio przy użyciu definicji funkcji wydatków i popytu Hicksa. Na przykład

\begin{aligned} e (p, λ u) & = min p \cdot x s.t. u (x) \geq λ u \\ = λ min p \cdot \frac{1}{λ} x s.t. \frac{1}{λ} u (x) \geq u \\ = \dots \end{aligned}

$\begin{align*} e(p,\lambda u)&= \min p\cdot x ~~\text{ s.t. } u(x)\geq \lambda u\\ &=\lambda\min p\cdot\frac{1}{\lambda}x ~~\text{ s.t. }\frac{1}{\lambda}u(x)\geq u\\ &=\cdots \end{align*}$

— Ziwei Wang
źródło

Dobrze dziękuję. Robię to również na żądanie hicksa. Proszę również sprawdzić moje rozwiązanie pod kątem popytu hicksowskiego. jeszcze raz znormalizujmy m = 1. I . Ponieważ to mam dlatego, ponieważ e (p, u) jest jednorodne stopnia pierwszego wu, popyt hicksa jest również homogeniczny w stopniu pierwszym wu. Czy to jest poprawne? Sprawdź to jeszcze raz kochanie @ZiweiWang bardzo dziękuję. :)

x (p, m) = m x (p, 1) = m \tilde{x} (p)

$x(p,m)=mx(p,1)=m\tilde {x}(p)$

x (p, e (p, u)) = h (p, u)

$x(p,e(p,u))=h(p,u)$

\frac{h (p, u)}{m \tilde{x} (p)} = e (p, u)

$\frac{h(p,u)}{m\tilde {x}(p)}=e(p,u)$

— none009

Zauważ, że podłączyłeś , więc (tzn. nie powinno pojawiać się w wyrażeniu dla .)

m = e (p, u)

$m=e(p,u)$

h (p, u) = \tilde{x} (p) e (p, u)

$h(p,u)=\tilde{x}(p)e(p,u)$

m

$m$

h (p, u)

$h(p,u)$

— Ziwei Wang