Formularz specyfikacji funkcji gospodarstwa domowego

Co decyduje o wyborze formy funkcjonalnej, która ma zostać przyjęta dla funkcji użyteczności CRRA gospodarstwa domowego, kiedy użyteczność zależy od konsumpcji i czasu wolnego?

Na przykład mamy te trzy specyfikacje funkcjonalne:

$ U (c, l) = lewe [dfrac {c ^ φ l ^ {1-φ}} {1-θ} prawo] ^ {1-θ} $
$ U (c, l) = dfrac {c ^ {1-φ}} {1-φ} + alfa dfrac {(1-N) ^ {1-γ}} {1-γ} $
$ U (c, l) = dfrac {c ^ {1-θ}} {1-θ} - alfa dfrac {N ^ {1-γ}} {1-γ} $

c: konsumpcja, l: czas wolny, N: praca dostarczona. Całkowite wyposażenie czasowe: jedność

microeconomics utility

— ludo
źródło

Podstawowym wyborem jest rozdzielność. Jedyną różnicą między ostatnią dwójką funkcji jest to, że modeluje się czas wolny, a drugi modeluje niezdolność do dostarczania pracy.

— 123

W modelach wzrostu, w celu uzyskania stanu stabilnego tempa wzrostu (tj. Stałej szybkości wzrostu w równowadze długookresowej), funkcja użyteczności CRRA, gdy występuje wybór czasu pracy, musi mieć specyficzną formę funkcjonalną.

Dowód matematyczny można znaleźć w Barro i Książka Sala-i-Martin (2. wydanie) , Dodatek 9.4, str. 427-428.

Pokazano, że funkcja narzędzia CRRA musi mieć postać ($ el $ reprezentuje praca tutaj)

$$ u (c, el) = frak {c ^ {1- theta} cdot exp {(1- theta) cdot omega (el)} - 1} {1- theta} $$

gdzie $ omega (el) $ jest jakąś funkcją pracy, a $ omega '(el) <0 $.

Dla $ theta = 1 $ upraszcza to do $ u (c, el) = ln (c) + omega (el) $.

Po narzuceniu addytywnej separowalności, dokładna forma funkcjonalna komponentu związanego z czasem wolnym / pracą jest czasami tworzona tak, aby mieć stałą Frisch elastyczność podaży pracy , Na przykład

$$ u (c, el) = ln (c) + alfa frac {(1- el) ^ {1 + 1 / v}} {1 + 1 / v} $$

ma elastyczność Frischa równą $ v $, wolną od $ el $. Widzieć ten wątek więcej szczegółów na ten temat.

Elastyczność podaży Frischa definiuje się jako elastyczność pracy przy jednoczesnym utrzymaniu krańcowej użyteczności bogactwa . Jego ekspresja pochodzi dany rozwiązanie problemu maksymalizacji użyteczności (tj. przez wykorzystanie relacji wynikających z warunków optymalizacji). Po niektórych manipulacjach wyrażenie to jest

$$ eta_F = frac {U _ {el} cdot U_ {cc}} {el cdot [U_ {cc} cdot U _ {el el} -U ^ 2_ {c el}]} $$

W rozdzielności między konsumpcją a pracą / czasem wolnym

$$ U ^ 2_ {c ell} = 0 oznacza eta_F = frac {U _ {el}} {el cdot U _ {el ell}} $$

Aby użyć jednej z funkcjonalnych form PO

$$ U (c, N) = dfrac {c ^ {1-θ}} {1-θ} - alfa reffr {N ^ {1-γ}} {1-γ} $$

mamy

$$ U_ {N} = - alfa N ^ {- gamma},; U_ {NN} = alfa gamma N ^ {- gamma-1} $$

więc

$$ eta_F = frac {- alfa N ^ {- gamma}} {N cdot alfa gamma N ^ {- gamma-1}} - - frac 1 {gamma} $$

Tak więc formy funkcjonalne, które prowadzą do stałej elastyczności Frischa, traktują go jako „głęboki” parametr preferencji. Formy funkcjonalne, które prowadzą do elastyczności Frischa, która obejmuje ( optymalny ) poziom pracy (jak jest pierwszą funkcjonalną formą PO), traktować ją jako miarę pochodną, zależną również od ram optymalizacji.

— Alecos Papadopoulos
źródło

Dziękuję za odpowiedź. Po prostu chcę sprecyzować, że wymóg stałej elastyczności Friska substytucji dla funkcjonalnej formy CRRA przy konsumpcji i pracy ma na celu dopasowanie empirycznie obserwowanej stałej podaży pracy pomimo rosnącej tendencji w stosunku płac i kapitału do produkcji. Wymóg ten nie jest spełniony przez 3 przykłady specyfikacji, które podałem powyżej, chyba że każdy ze współczynników CRRA ($$ theta, gamma, rho $$) wynosi 1.

— ludo

@ludo To nie jest poprawne. Zobacz moją rozszerzoną odpowiedź.

— Alecos Papadopoulos

@ludo Odnoszę się wyłącznie do matematycznych właściwości konkretnych form funkcjonalnych w odniesieniu do elastyczności Frischa, więc nie widzę, w jakim sensie jest błąd w tym, co piszę, ponieważ są to standardowe obliczenia matematyczne. Wszystkie inne informacje, które podajesz, wydają się mieć związek z tym, jak dobrze te funkcjonalne formularze pasują do danych ze świata rzeczywistego, co jest zupełnie inną sprawą.

— Alecos Papadopoulos

Powyższe nie jest poprawne w tym sensie, że specyfikacja preferencji może prowadzić do stałej elastyczności Frischa substytucji bez dostarczania stałej podaży pracy w BGP. Ilustracja jest następująca: $$ u (c, N) = dfrac {c ^ {1-θ}} {1-θ} - alfa dfrac {N ^ {1-γ}} {1-γ} $$, $$ eta_F = - frac 1 {gamma} $$ i $$ N ^ {*} = 1- lewa (reffr {al. C ^ {ta}} {w} ) ^ {dfrac {1} {gamma}} $$ $$ u (c, n) = ln (c) - alfa frak {n ^ {1 + 1 / v}} {1+ 1 / v} $$, $$ eta_F = {gamma} $$ i $$ N ^ {*} = lewe (reffr {w} {alfa C} prawo) ^ {gamma} $ $.

— ludo

Wzdłuż BGP (w C i C rosnące w tym samym tempie) Tylko druga może dostarczyć stałej podaży siły roboczej, która wspiera długoterminowe fakty (Cooley i Prescott (1995)). Wydaje się jednak, że dokumentowana jest tendencja spadkowa liczby przepracowanych godzin.

— ludo