Związek między funkcją wydatków a wieloma innymi!

14

Nie rozumiem związków między popytem Hicksa, popytem walrasian (marshallian), funkcją wydatkowania i pośrednią funkcją użyteczności (w tym funkcją wartości V (b)). Uznałem ten temat za bardzo trudny i nie mogę zrozumieć, w jaki sposób odnoszą się one do siebie ze względu na formalność stosowaną w dostępnych książkach!

Rozumiem, jak wyprowadzić pośrednią użyteczność, jednak muszę czuć się swobodnie, aby pokazać, jak mogę ją wykorzystać do uzyskania funkcji wydatków i reszty oraz jak różnią się dualnościami!

microeconomics consumer-theory utility

— Arie
źródło

14

Zgodnie z doskonałym diagramem MWG w odpowiedzi Amstella podstawową konieczną obserwacją jest to, że trzymanie ustalone, i są wzajemnymi odwrotnościami . mówi nam kwotę, którą musimy wydać, aby uzyskać określoną ilość użyteczności , natomiast mówi nam maksymalną ilość użyteczności, jaką możemy uzyskać z określonego wydatku . Ilekroć chcemy przejść z użyteczności do bogactwa, używamy ; a ilekroć chcemy zmienić z bogactwa na użyteczność, używamy . $p$ $e$ $v$ $e$ $u$ $v$ $w$ $e$ $v$

Wszystkie kluczowe tożsamości można wyprowadzić z tej obserwacji. Załóżmy na przykład, że chcemy uzyskać tożsamość dla . Znamy już odpowiednią tożsamość dla funkcji wydatku, . Aby przekształcić to w tożsamość dla , podstawiamy $\partial v(p,w)/\partial p_i$ $\partial e(p,u)/\partial p_i=h_i(p,u)$ $v$ $w=e(p,u)$ , otrzymując , i różnicuj względem . Reguła łańcuchowa implikuje $v(p,e(p,u))=u$ $p_i$ które, jeśli podzielimy przezpo obu stronach, staje się tożsamością Roya.

\frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial p_{i}} + \frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = 0 ⟺ \frac{\partial v (p, w)}{\partial p_{i}} = - \frac{\partial v (p, w)}{\partial w} \cdot x_{i} (p, w)

$\frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} =0\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial v(p,w)}{\partial p_i} = -\frac{\partial v(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$

- \partial v / \partial w

$-\partial v/\partial w$

Albo załóżmy, że chcemy wyprowadzić równanie Słuckiego, które daje związek między pochodnymi popytu Marshalla i Hicksa (rozkładając zmianę popytu Marshalla na efekty substytucyjne i dochodowe). Analogicznie do powyższego możemy zastąpić popytem Marshalla aby otrzymać . Następnie różnicując względem $w=e(p,u)$ $x(p,w)$ $x(p,e(p,u))=h(p,u)$ po obu stronach i zastosowanie reguły łańcucha daje $p_i$ Ogólnie rzecz biorąc, myślę, że heurystyczna „zmiana międzyiw razie potrzeby za pomocąi” pozwala uzyskać prawie wszystko tutaj. (Podobna heurystyka jest również przydatna, jeśli kiedykolwiek masz do czynienia z systemami popytu Frischa, w których krańcowa użytecznośćodgrywa tę samą rolę, coiw systemach popytu Marshalla i Hicksa.)

\frac{\partial x (p, e (p, u))}{\partial p_{i}} + \frac{\partial x (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{i}} ⟺ \frac{\partial x (p, w)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{i}} - \frac{\partial x (p, w)}{\partial w} \cdot x_{i} (p, w)

$\frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = \frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i}\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial x(p,w)}{\partial p_i}=\frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i} - \frac{\partial x(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$

w

$w$

u

$u$

v

$v$

e

$e$

λ

$\lambda$

w

$w$

u

$u$

$\partial e(p,u)/\partial p_i = h_i(p,u)$ $w=e(p,u)$ $\partial e(p,u)/\partial p_i = x_i(p,w)$ twierdzenie o obwiedni .

$\partial v/\partial p_i$ $p_i$ $\partial v/\partial w$ $\partial v/\partial p_i$ $\partial e/\partial p_i$

— nominalnie sztywny
źródło

13

Nie jestem pewien, jak bardzo to pomoże, ale schemat w Mas-Colell p.75 jest czymś, o czym zawsze myślę przy tworzeniu tych funkcji. Nie jestem pewien, jakich książek używasz, ale Microeconomics Mas-Colell i in. to przejście do zasobów dla absolwentów. Ale wolę analizę mikroekonomiczną Varian. Znacznie łatwiejszy do odczytania i wciąż zawiera ważne treści potrzebne do pracy na poziomie magisterskim. Z mojego doświadczenia wynika, że czerpię jak najwięcej wymagań Walrasa, a sama praca nad tym procesem zapewniła mi komfort zrozumienia. Jeśli szukasz przykładów, mogę zastosować pewne formuły, aby pokazać ci, jak to działa, ale wydaje się, że to rozumiesz. Mam też strony z ćwiczeniami, jeśli potrzebujesz również innego zasobu. Mam nadzieję że to pomoże :)

Mikroekonomia: Mas-Colell

Aktualizacja: Oto kilka problemów z ćwiczeniami z niektórych moich zestawów problemów. Ostrożnie z ostatnim. Cieszyć się

Jeśli to możliwe, oblicz Hicksian, Walrasian, Expenditure i Indirect dla każdego z poniższych:

$e(p,u) = (p_{1} + p_{2})u$
$e(p,u) = p_{1} +p_{2} + up_{1}$
$h(p,u) = ( \frac{up_{2}}{p_{1}} , \frac{up_{1}}{p_{2}})$
$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

Edytować ; Zaktualizuj, aby wyjaśnić # 4

$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

$(x_{1}, x_{2})$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} = w$

Jedną z właściwości Walrasian Demand jest to, że obowiązuje Prawo Walrasa.

$px = w$

Prostym sposobem wykazania, że prawo Walrasa nie obowiązuje, jest proste włączenie wymagań dotyczących ograniczenia dochodów.

$p_{1} ( \frac{w}{p_{1}}) + p_{2} ( \frac{w}{p_{2}}) = w$

$2w \neq w$

— Amstell
źródło