Czy można uzyskać krzywe obojętności, biorąc pod uwagę funkcję popytu Marshalla?

Czy w dwóch dobrych światach popyt Marshalla będzie taki jak w D(p,m)przypadku, gdy p jest ceną jednego dobra, a dochód da funkcję użyteczności lub funkcję krzywej obojętności? Jeśli tak, to jak rozwiązać ten problem?

microeconomics utility consumer-theory

— Howard Black
źródło

Tak, pod pewnymi warunkami. Jest to klasyczny problem integralności : szczegółowe informacje można znaleźć w znakomitych notatkach Kim Border .

Wymaganych jest kilka innych warunków technicznych, ale najbardziej ekonomicznie uzasadnionym warunkiem jest to, że matryca Słuckiego zawsze musi być symetryczna i ujemna półfinałowa. Konkretnie, jeśli zdefiniujemy element macierzy Slutsky'ego w aby był $ij$ $(p,m)$ wtedy musimy miećdla wszystkich, a także dla dowolnego wektoramusimy mieć dla wszystkichkonieczność

σ_{ja jot} (p, m) = \frac{\partial {re}_{ja} (p, m)}{\partial p_{jot}} + {re}_{jot} (p, m) \frac{\partial {re}_{ja} (p, m)}{\partial m}

$\sigma_{ij}(p,m)=\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial p_j}+D_j(p,m)\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}$

σ_{i j} (p, m) = σ_{j i} (p, m)

$\sigma_{ij}(p,m)=\sigma_{ji}(p,m)$

(p, m)

$(p,m)$

v

$v$

(p, m)

$(p,m)$

\sum_{ja} \sum_{jot} σ_{ja jot} (p, m) v_{ja} v_{jot} \leq 0

$\sum_i \sum_j \sigma_{ij}(p,m)v_iv_j \leq 0$ tych warunków wynika bezpośrednio z podstawowej teorii konsumenta, która pokazuje, że jeśli popyt Marshalla wynika z ograniczonej maksymalizacji funkcji użyteczności, to macierz Słuckiego jest symetryczna i ujemna półfinałowa. Jednak wystarczalność tych warunków (w połączeniu z niektórymi innymi założeniami technicznymi) do wycofania się z funkcji użyteczności jest sprawą bardziej skomplikowaną, a dla uzyskania szczegółów polecam notatki Border lub inne zaawansowane mikro źródło.

$i=1,2$

\frac{\partial mi (p, u)}{\partial p_{ja}} = h_{ja} (p, u) = {re}_{ja} (p, mi (p, u))

$\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u) = D_i(p,e(p,u))$

D

$D$

e

$e$

(\bar{p}, \bar{m})

$(\bar{p},\bar{m})$

\bar{u}

$\bar{u}$

e (\bar{p}, \bar{u}) = \bar{m}

$e(\bar{p},\bar{u})=\bar{m}$

p_{1}

$p_1$

i = 1

$i=1$

e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u})

$e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})$

p_{1}

$p_1$

h (p_{1}, {\bar{p}}_{2)}, \bar{u}) = re (p_{1}, {\bar{p}}_{2)}, mi (p_{1}, {\bar{p}}_{2)}, \bar{u}))

$h(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})=D(p_1,\bar{p}_2,e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u}))$

p_{1}

$p_1$

$\bar{u}$ $p_1$ $p_1$

— nominalnie sztywny
źródło