Jak wyprowadzić funkcję użyteczności z pośredniej użyteczności w tym ćwiczeniu [zamknięte]

Wyprowadź bezpośrednią funkcję użyteczności konsumenta, jeśli jego pośrednia funkcja użyteczności ma postać

v (p, y) = y p_{1}^{α} p_{2}^{β}

$v(\boldsymbol{\mathbf{p}},y)=yp_1^\alpha p_2^\beta$

gdzie są ujemne. $\beta ,\alpha$

microeconomics utility

— Andrea FL
źródło

Użyj tożsamości Roya, aby znaleźć funkcje popytu:

x_{1} = - \frac{\frac{\partial v}{\partial p_{1}}}{\frac{\partial v}{\partial y}} = - \frac{α y p_{1}^{α - 1} p_{2}^{β}}{p_{1}^{α} p_{2}^{β}} = - \frac{α y}{p_{1}}

$\displaystyle x_1=-\frac{\frac{\partial v}{\partial p_1}}{\frac{\partial v}{\partial y}} =-\frac{\alpha yp_1^{\alpha-1} p_2^\beta}{p_1^\alpha p_2^\beta}=-\frac{\alpha y }{p_1}$

x_{2} = - \frac{\frac{\partial v}{\partial p_{2}}}{\frac{\partial v}{\partial y}} = - \frac{β y p_{1}^{α} p_{2}^{β - 1}}{p_{1}^{α} p_{2}^{β}} = - \frac{β y}{p_{2}}

$\displaystyle x_2=-\frac{\frac{\partial v}{\partial p_2}}{\frac{\partial v}{\partial y}} =-\frac{\beta yp_1^{\alpha} p_2^{\beta-1}}{p_1^\alpha p_2^\beta}=-\frac{\beta y }{p_2}$

Ponieważ , z powyższych wyrażeń żądania otrzymujemy . Powyższe równania zapotrzebowania można również przepisać jako: $p_1x_1 + p_2x_2 = y$ $-\alpha -\beta = 1$

x_{1}^{- α} = (- α y)^{- α} p_{1}^{α}

$x_1^{-\alpha} = (-\alpha y)^{-\alpha}p_1^\alpha$

x_{2}^{- β} = (- β y)^{- β} p_{2}^{β}

$x_2^{-\beta} = (-\beta y)^{-\beta}p_2^\beta$

Pomnożąc je, otrzymujemy:

x_{1}^{- α} x_{2}^{- β} = (- α y)^{- α} p_{1}^{α} (- β y)^{- β} p_{1}^{β} = (- α)^{- α} (- β)^{- β} y p_{1}^{α} p_{2}^{β}

$x_1^{-\alpha}x_2^{-\beta} = (-\alpha y)^{-\alpha}p_1^\alpha (-\beta y)^{-\beta}p_1^\beta = (-\alpha)^{-\alpha}(-\beta)^{-\beta}yp_1^\alpha p_2^\beta$

Porównując go z pośrednią funkcją użyteczności, otrzymujemy bezpośrednią funkcję użyteczności jako:

u (x_{1}, x_{2}) = \frac{x_{1}^{- α} x_{2}^{- β}}{(- α)^{- α} (- β)^{- β}}

$u(x_1, x_2) = \frac{x_1^{-\alpha}x_2^{-\beta}}{(-\alpha)^{-\alpha}(-\beta)^{-\beta}}$

— Amit
źródło