Maksymalizuj użyteczność, biorąc pod uwagę dowolną liczbę towarów i warunek, że dokładnie X liczby przedmiotów musi zostać zakupionych

Jak można zmaksymalizować użyteczność, biorąc pod uwagę pewne ograniczenia budżetowe, dowolną liczbę różnych towarów (z różną użytecznością i cenami) oraz dodatkowy warunek, że dokładnie X liczby przedmiotów musi zostać zakupionych?

Myślę, że należy to zrobić algorytmicznie, ale nie mam pojęcia, jak to zrobić.

utility

— Dennis
źródło

Brzmi jak bardzo typowy problem z maksymalizacją ograniczeń. Ogólnie rzecz biorąc, możesz użyć metody Lagrange'a i wyprowadzić warunki Kuhna-Tuckera. Jeśli jednak chcesz uzyskać bardziej szczegółową odpowiedź, musisz zmodyfikować swoje pytanie, aby było bardziej konkretne: powiedz nam, jak wygląda funkcja narzędzia, jakie są ograniczenia itp.

— Herr K.

@HerrK. Myślę, że wydaje się to dyskretnym problemem optymalizacji, ale szczerze mówiąc, nie podano wystarczająco dużo szczegółów.

— Giskard,

Pod pojęciem „X liczba artykułów” masz na myśli „X liczba różnych towarów”?

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Nie, do wyboru będzie dowolna liczba towarów, ale należy zakupić X artykułów. Powiedzmy, że są 2 towary i absolutnie musimy kupić 3 przedmioty z pewnym ograniczeniem budżetowym. W tym przykładzie możemy zmaksymalizować użyteczność, kupując 1 pozycję towarów A i 2 towary B, biorąc pod uwagę nasze ograniczenia budżetowe. Ale jak ustalić, która kombinacja maksymalizuje naszą użyteczność, biorąc pod uwagę dowolną liczbę towarów i liczbę X przedmiotów?

— Dennis

@denesp Jakich danych potrzebujesz?

— Dennis

Odpowiedzi:

\begin{array}{rcl} max_{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}} & u (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \\ s.t. & \sum_{i = 1}^{n} p_{i} x_{i} \leq M \\ \sum_{i = 1}^{n} x_{i} = X \\ x_{i} \in Z_{+} \forall i \in {1, 2, \dots, n} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \max_{x_1, x_2, \ldots, x_n} && u(x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ \text{s.t.} && \sum_{i=1}^n p_ix_i \leq M \\ && \sum_{i=1}^n x_i = X \\ && x_i\in\mathbb{Z}_+ \ \ \forall i\in\{1,2,\ldots, n\} \end{eqnarray*}$

Jeśli zignorujemy ograniczenie budżetowe, równanie ma rozwiązania . Wymień je, posortuj od wysokiego do niskiego według użyteczności, a następnie wskaż najwyższy z posortowanej listy, który spełnia również ograniczenia budżetowe. $\sum\limits_{i=1}^n x_i = X$ ${X+n-1\choose n-1}$

Jeśli jest ściśle wzrasta, różniczkowalnej quasi-wklęsła , to można rozwiązać problem maksymalizacji użyteczności w zwykły sposób, pomijając ograniczenie , a następnie sprawdź integralne rozwiązania które otaczają rozwiązanie problemu maksymalizacji użyteczności, i wybierz najlepsze spośród nich, aby uzyskać ostateczne rozwiązanie. $u$ $\mathbb{R}_+^n$ $\sum_{i=1}^n x_i = X$ $\sum_{i=1}^n x_i = X$

— Amit
źródło

Twój problem to

max U (z_{1}, . . ., z_{n})

$\max U(z_1,...,z_n)$

s . t . \sum p_{i} z_{i} \leq I

$s.t. \sum p_iz_i \leq I$

s . t . \sum z_{i} = X, z_{i} \in N

$s.t. \sum z_i = X, \;\;\; z_i\in N$

Masz więc dodatkowe ograniczenie liniowe, ale również , jak zauważono w komentarzu, ograniczenie sprawia, że jest to problem optymalizacji, w którym zmienne decyzyjne są dyskretne (w szczególności liczby całkowite), co oznacza, że formalnie nie otrzymujesz mieć instrumenty pochodne. $z_i\in N$

W praktyce wiele dyskretnych problemów optymalizacyjnych jest atakowanych przez „udawanie”, że możemy obliczyć pochodne (więc utwórz Lagrangian z dwoma ograniczeniami, uzyskaj warunki Karush-Kuhn-Tucker itp.), Uzyskaj wektor maksymalizatora w ten sposób, a następnie sprawdź, co się dzieje, gdy zaokrąglamy w górę lub w dół jego elementy, aby stały się liczbami całkowitymi.

Należy również sprawdzić, czy ograniczenia budżetowe nie są naruszane przez te zaokrąglenia i zezwalać tylko na te kombinacje, które tego nie robią. Tutaj ograniczenie budżetowe jako nierówności jest ważne, ponieważ dopuszczalny wektor maksymalizatora najprawdopodobniej nie wyczerpuje całkowicie budżetu. $z_i$

Zobacz tutaj trochę wprowadzających informacji na temat programowania liczb całkowitych.

— Alecos Papadopoulos
źródło

Dennis - w obecnej formie na twoje pytanie nie zawsze można odpowiedzieć. Przynajmniej nie w sposób, który moim zdaniem cię interesuje. W szczególności ograniczenie wyborów konsumenta do pewnego ograniczonego, arbitralnego zestawu wyborów, nadanie temu agentowi pewnej ilości bogactwa, a następnie zmuszenie konsumenta do zakupu określonej ilości towarów nie zawsze jest wykonalne, ilekroć towary te są dyskrecjonalne.

Załóżmy, że jakiś agent ma bogactwo i staje przed wyborem między towarami z zestawu { }, w którym zakładamy, że możemy na ceny st . Jeśli założymy, że , nie możemy spełnić żadnego rodzaju wymogu, że agent ten musi zakupić minimalną ilość towarów, niezależnie od tego, czy zdefiniujemy minimum w stosunku do rodzajów lub ilości towarów. To tylko najprostszy przykład, który mogę zilustrować. Możesz także pomyśleć o konieczności spełnienia pewnych minimalnych wymagań towarów. Ponadto, może to mieć ten środek wychodzi $i$ $w$
$G \equiv$ $g_1,...,g_n$ $p_{g1}<p_{g2}<...<p_{gn}$ $w<p_{g1}$ $n$ $i$ $w-p(n-1)$

Jedynym „maksymalny” agenta może osiągnąć wynosi , ponieważ środek ten nie może brać udziału w tym rynku. $i$ $U(w)$

— 123
źródło