Implikacja dominacji stochastycznej pierwszego rzędu

-1

Za pomocą wskaźnika użyteczności $U(x) = x$ , aby udowodnić, że jeśli rozkład pierwszego rzędu stochastycznie dominuje dystrybucji , a średnia pod nie może przekraczać wartość średnią pod . $F$ $G$ $x$ $G$ $x$ $F$

Próba dowodu - Załóżmy, że jest pierwszego rzędu stochastycznie dominuje czym Ponieważ oczekiwana zachowuje liniowość to stąd, że $F$ $G$

F (x) \leq G (x) \forall x

$F(x) \leq G(x) \ \ \forall x$

E [F (x)] \leq E [G (x)] \forall x

$\mathbb{E}\left[F(x)\right] \leq \mathbb{E}\left[G(x)\right] \ \ \forall x$

Nie jestem pewien, czy jest to poprawne czy wystarczająco rygorystyczne. Wszelkie sugestie są bardzo mile widziane.

utility financial-economics

— Wolfy
źródło

Co zachowanie liniowości ma wspólnego z którymkolwiek z nich ...?

— Giskard

Dostajemy dwa CDF-y i , takie, że FOSD tj. . Rozważmy zmiennych losowych i . Załóżmy również, że i przyjmują wartości nieujemne. $F$ $G$ $F$ $G$ $F(x) \leq G(x)$ $\forall x$ $X\sim F$ $Y\sim G$ $X$ $Y$

Chcemy pokazać, że . $\mathbb{E}(X) \geq \mathbb{E}(Y)$

Oto intuicja: oznacza, że prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmuje wartości mniejsze niż jest mniejsze niż prawdopodobieństwo, że przyjmuje wartości mniejsze niż , i dotyczy to co . Dlatego ma wyższe wartości niż częściej niż trwa wskazując, że będzie miał wyższą średnią niż . $F(x) \leq G(x)$ $\forall x$ $X$ $x$ $Y$ $x$ $x$ $X$ $x$ $Y$ $X$ $Y$

Oto dowód:

\begin{array}{rcl} F (x) \leq G (x) \forall x \\ \to & 1 - F (x) \geq 1 - G (x) \forall x \\ \to & \int_{0}^{\infty} 1 - F (x) d x \geq \int_{0}^{\infty} 1 - G (x) d x \\ \to & \int_{0}^{\infty} Pr (X > x) d x \geq \int_{0}^{\infty} Pr (Y > x) d x \\ \to & \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty} f_{X} (a) d a d x \geq \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty} f_{Y} (a) d a d x \\ \to & \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} f_{X} (a) d x d a \geq \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} f_{Y} (a) d x d a \\ \to & \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} d x f_{X} (a) d a \geq \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} d x f_{Y} (a) d a \\ \to & \int_{0}^{\infty} a f_{X} (a) d a \geq \int_{0}^{\infty} a f_{Y} (a) d a \\ \to & E (X) \geq E (Y) \end{array}

$\begin{eqnarray*} & F(x) \leq G(x) \ \ \ \forall x \\ \rightarrow & 1 - F(x) \geq 1- G(x) \ \ \ \forall x \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty}1 - F(x) dx \geq \int_{0}^{\infty} 1- G(x)dx \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty}\Pr(X> x) dx \geq \int_{0}^{\infty} \Pr(Y> x)dx \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty}f_X(a) da dx \geq \int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty}f_Y(a) da dx \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a}f_X(a) dx da \geq \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a}f_Y(a) dx da \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} dx \ f_X(a) \ da \geq \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{a} dx \ f_Y(a) \ da \\ \rightarrow & \int_{0}^{\infty} a \ f_X(a) \ da \geq \int_{0}^{\infty} a \ f_Y(a) \ da \\ \rightarrow & \mathbb{E}(X) \geq \mathbb{E}(Y) \ \end{eqnarray*}$

— Amit
źródło