Efekty zewnętrzne - warunki pierwszego rzędu

Obecnie czytam książkę „Microeconomics: Principles and Analysis” autorstwa Cowella. Czytam rozdział dotyczący efektów zewnętrznych i znalazłem interesujący przykład:

Istnieją tylko dwie firmy: firma 1 jest zanieczyszczającym i firmą 2 ofiarą. Firma 2 (ofiara) składa firmom ofertę płatności dodatkowej lub łapówki. Łapówka to kwota uzależniona od ilości produkcji, którą firma 1 generuje: im większe zanieczyszczenie, tym mniejsza łapówka; więc modelujemy łapówkę jako malejącą funkcję β (⋅).

Problemem jest optymalizacja

Moje pytanie brzmi: jak doszli do tych FOC?

AKTUALIZACJA: Druga część tej optymalizacji polega na spojrzeniu na problem z perspektywy 1 firmy. Teraz spójrz na problem z punktu widzenia firmy 1. Kiedyś ofiara firma składa ofertę łapówki warunkowej, firma 1 powinna to uwzględnić. Więc jego zyski muszą wyglądać tak

To pochodzi z F.A.Cowell - Microeconomics - Principles and Analysis str.444-445

Aby upewnić się, że jest całkowicie wyraźny: poniższe indeksy górne są indeksami odnoszącymi się do firmy 1 $ lub 2 $ do firmy.

Zmienne wyboru w tym problemie to $ matematyka {q} ^ 2 $ i $ $. Zauważ, że $ matematyka {q} ^ 2 $ jest wektorem wielkości $ n $. To znaczy, $ matematyka {q} ^ 2 = lewe (q_1 ^ 2, q_2 ^ 2, kropki, q_n ^ 2 z prawej) $.

$ (13.9) $ jest po prostu pochodną funkcji celu $ (13.8) $ w odniesieniu do $ q_i ^ 2 $. Zauważ, że możesz przepisać funkcję celu $ (13.8) $ jako $$ p_1q_1 ^ 2 + p_2q_2 ^ 2 + cdots + p_iq_i ^ 2 + cdots + p_nq_n ^ 2 beta lewa (q_1 ^ 1 z prawej) - mu_2 Hi ^ 2 z lewej (q_1 ^ 2, kropki, q_i ^ 2, kropki, q_n ^ 2, q_1 ^ 1 z prawej) $$

Różnicowanie tego w odniesieniu do $ q_i ^ 2 $ i ustawienie wartości równej 0 $ daje nam $$ p_i - mu_2 frak {częściowo Hi ^ 2 z lewej (matematyka {q} ^ 2, q_1 ^ 1 )} {częściowo q_i ^ 2} = 0 $$

W notacji Cowella $ Hi ^ 2_i $ jest pochodną $ ^ ^ 2 $ w odniesieniu do $ q_i ^ 2 $.

Drugi warunek pierwszego rzędu jest pochodną funkcji celu w stosunku do $ $. Ponieważ $ beta (cdot) $ jest funkcją malejącą $ q_1 ^ 1 $, możemy również pomyśleć o $ q_1 ^ 1 $ jako funkcji malejącej $ $. (Formalnie $ q_1 ^ 1 $ jest odwrotnością $ b $, co jest dobrze zdefiniowane, ponieważ $ b $ maleje. Intuicyjnie, jeśli firma $ 2 $ warunkuje swoją łapówkę na poziomie wyjściowym 1 $ firmy, to Wybór wyjścia firmy $ 1 $ zależy również od kwoty łapówki.)

Tak więc, stosując regułę łańcucha, pochodną celu względem $ $ jest $$ -1 - mu_2 frak {częściowe Hi ^ 2 z lewej (matematyka {q} ^ 2, q_1 ^ 1 right)} {częściowo q_1 ^ 1} frak {dq_1 ^ 1} {d beta} = 0 $$ co niestety nie jest takie samo jak w Cowell. Zauważ jednak, że $ frac {dq_1 ^ 1} {d beta} <0 $, więc może używa bezwzględnej wartości tej pochodnej, aby pozbyć się znaku minus przed $ m_2 $.