Cienkie krzywe obojętności

Jeśli konsument postępuje zgodnie z aksjomatem ciągłości racjonalności (tzn. Nie ma skoków w swoich preferencjach), krzywe obojętności funkcji użyteczności są uważane za cienkie.

Dlaczego ciągłość ( taka, że | z | ≥ y ∀ ϵ > 0 ) implikuje cienkie krzywe obojętności?$x \succeq y \Rightarrow \exists \space z=x+\epsilon$$|z|\ge y \space \forall \epsilon > 0$

Nie sądzę, że sama ciągłość wystarczy, by zagwarantować cienkie krzywe obojętności.

Rozważmy preferencje takie, że dla każdego i y w zbiorze wyboru, konsument jest obojętny między x i y . Wydaje się, że musi pasować do dowolnej definicji grubej krzywej obojętności, ponieważ cały zestaw wyboru leży na jednej krzywej obojętności!$x$$y$$x$$y$

Ale te preferencje spełniają również twoją definicję ciągłości.

Wydaje się więc, że ciągłość implikuje jedynie cienkie krzywe obojętności, jeśli jest ona powiązana z jakimś innym założeniem.

Po pierwsze, myślę, że pytanie jest błędnie sformułowane. Jeśli bowiem definicja cienkiej krzywej obojętności jest taka, że ​​ciągłość preferencji konsumenta oznacza cienkie krzywe obojętności, to z pewnością ciągłość oznacza cienkie krzywe obojętności ... To odpowiada na twoje pytanie.

Jeśli jednak mamy stworzyć odpowiednią definicję cienkiej krzywej obojętności, możemy najpierw powiedzieć, że jest grubą krzywą obojętności, gdzie Δ jest zbiorem możliwych wiązek, a gdzie ∼ oznacza obojętność, ilekroć istnieje q

$$[q]=\{p\in\Delta|p\sim q\}$$ $\Delta$$\sim$ i ϵ > 0 takie, że p ∈ N ϵ ( q ′ ) implikuje p $q'\in [q]$$\epsilon>0$$p\in N_{\epsilon}(q')$ , gdzie N ϵ ( q ′ ) to niektóre sąsiedztwo epsilonu wokół q ′ ; a po drugie powiedz, że [ q ] jestcienkąkrzywą obojętności, jeśli nie jest gruba. Potocznie oznacza to, że na grubej krzywej obojętności występuje pewien wypukłość [ q ] , ale nie ma takiego wypukłości na cienkiej krzywej obojętności.$p\sim q'$$N_{\epsilon}(q')$$q'$$[q]$$[q]$

Zasadniczo powyższe jest krótką ekspozycją Podejście geometryczne do oczekiwanej użyteczności (Chatterjee i Krishna, 2006) . Stosując powyższą definicję cienkiej krzywej obojętności, pokazują w Lematie 2.3, że (i) ciągłość i (ii) niezależność implikują cienkie krzywe obojętności (zauważ, że nie pokazują, że sama ciągłość implikuje cienkie krzywe obojętności; por. Odpowiedź wszechobecna) . Ich definicja opiera się na dwóch następujących pojęciach topologicznych.

1. Założenie ciągłości. Wszystkie podzbiory i { q | p ≻ q } z Δ , gdzie p ∈ Δ , są otwarte; tutaj pamiętaj, że otwarty zestaw to zestaw, dla którego każdy punkt w nim ma otoczenie leżące w tym zestawie. Zatem to pojęcie ciągłości jest podobne do twojego.$\{q|q\succ p\}$$\{q|p\succ q\}$$\Delta$$p\in \Delta$
2. Założenie niezależności. Dla wszystkich , p ≻ q i λ ∈ ( 0 , 1 ] oznacza, że $p,q,r\in\Delta$$p\succ q$$\lambda\in (0,1]$ pozwala to na pewną ładną algebrę. $$\lambda p+(1-\lambda)r\succ \lambda q+(1-\lambda)r;$$

To, co pokazują w Lemma 2.3, polega zasadniczo na tym, że jeśli masz krzywą obojętności i weź pod uwagę sąsiedztwo epsilon N ϵ ( q ′ ) wokół q ′ ∈ [ q ] , to p ∈ $[q]$$N_{\epsilon}(q')$$q'\in [q]$będzie nie oznacza, żep∼ q ′ dla arbitralnie małychϵ>0. To znaczy, jakkolwiek małe, żadne sąsiedztwo epsilon nie jest takie, że zawiera tylko pakiety, dla których jeden jest obojętny między tymi pakietami i$p\in N_{\epsilon}(q')$$p\sim q'$$\epsilon>0$ . Zamiast tego każde sąsiedztwo epsilon będzie zawierało punkty, które są zdecydowanie preferowane od q ′ .$q'$$q'$

Dla funkcji ciągłych użytkowych, myślę, że jest owocne, aby pamiętać, że ich obraz w np ma (Lebesgue'a) mierzyć 0 (por Jak udowodnić, że obraz ciągłej krzywej w R 2 ma miarę 0 ? )$\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^2$$0$