CV, EV dla narzędzia dodatku; potwierdzić lub zaprzeczyć

Obecnie jestem TA na zajęcia, a ostatnio otrzymałem ocenę z semestru. Klucz odpowiedzi oddałem nauczycielowi po przejściu części egzaminu w sali do nauki. Miałem zamiar przejrzeć resztę jutro, ale podczas pisania własnego klucza odpowiedzi w godzinach pracy wydaje mi się, że doszedłem do innej odpowiedzi niż nauczyciel.

Zmaksymalizować

u = 2 x_{1}^{1 / 2} + 4 x_{2}^{1 / 2}

$u = 2x_1^{1/2} + 4x_2^{1/2}$ w normalnym ograniczenia budżetu gdzie

p \cdot x \leq w

$p \cdot x \leq w$ . Dochodzimy do żądania Walrasian:

x^{*} (p, w) = (\frac{p_{2} w}{p_{1} (4 p_{1} + p_{2})}, \frac{4 p_{1} w}{p_{2} (4 p_{1} + p_{2})})

$x^*(p, w) = \left(\frac{p_2 w}{p_1(4p_1 + p_2)} , \frac{4p_1 w}{p_2(4p_1 + p_2)}\right)$

Załóżmy, że $w = 10, \vec p = (1, 4), \vec p' = (3, 2)$ .

Zatem $x(p', w) = (\frac{10}{21}, \frac{30}{7})$ i $x(p, w) = (5, \frac{5}{4})$ dla naszych nowych i starych pakietów.

Aby znaleźć odmianę kompensacyjną , znajdujemy oryginalne narzędzie:

$2 \cdot 5^{1/2} + 4 \cdot (5/4)^{1/2} = 4 \sqrt 5$

$w'$

$4 \sqrt 5 = 2(\frac{w'}{21})^{1/2} + 4(\frac{3w'}{7})^{1/2} = 2(\frac{w'}{21})^{1/2} + 12(\frac{w'}{21})^{1/2} = 14(\frac{w'}{21})^{1/2} \implies \\ 4 \sqrt 5 = 14(\frac{w'}{21})^{1/2} \\ 80 = 14^2 \cdot \frac{w'}{21} \\ \boxed{w' = \frac{60}{7}}$

$\boxed{CV = w - w' = 10 - \frac{60}{7} = \frac{10}{7}}$

Aby znaleźć równoważną odmianę , znajdujemy nowe narzędzie:

$2 \cdot (10/21)^{1/2} + 4 \cdot (30/7)^{1/2} = 2 \cdot (10/21)^{1/2} + 12 \cdot (10/21)^{1/2} = 14 \sqrt {\frac{10}{21}}$

$\hat w$

$14 \sqrt {\frac{10}{21}} = 2(\frac{\hat w}{2})^{1/2} + 4(\frac{\hat w}{8})^{1/2} = 4(\frac{\hat w}{2})^{1/2} \\ 14^2 \cdot \frac{10}{21} = 16 \cdot \frac{\hat w}{2} \\ \boxed{\hat w = \frac{70}{6}}$

$\boxed{EV = \hat w - w = \frac{70}{6} - 10 = \frac{5}{3}}$

Problem polega na tym, że jeśli dobrze pamiętam, CV i EV powinny mieć przeciwny znak, aby zmiana dobrostanu była niejednoznaczna. Gdzie popełniłem błąd, jeśli gdzieś? (Warto zauważyć, że jeśli zrobisz rozkład Slutsky'ego na to pytanie, okaże się, że dobra 2 jest gorsza.)

microeconomics optimization welfare

— Kawaleria Kitsune
źródło

Pytania z liczbami zwykle nie są tak dobre, jak pytania bez liczb. Gdybyś spisał wzór CV i EV, prawdopodobnie zauważyłbyś, że twoje założenie jest fałszywe.

C V = e (p_{1}, u_{1}) - e (p_{1}, u_{0}), E V = e (p_{0}, u_{1}) - e (p_{0}, u_{0}) .

$CV = e(p_1,u_1) - e(p_1,u_0), \hskip 20pt EV = e(p_0,u_1) - e(p_0,u_0).$

u_{1} > u_{0}

$u_1 > u_0$

u_{1}

$u_1$

W swoim ostatnim komentarzu zauważasz również, że dobra 2 jest gorsza. Jak widać z funkcji popytu

x^{*} (p, w) = (\frac{p_{2} w}{p_{1} (4 p_{1} + p_{2})}, \frac{4 p_{1} w}{p_{2} (4 p_{1} + p_{2})})

$x^*(p, w) = \left(\frac{p_2 w}{p_1(4p_1 + p_2)} , \frac{4p_1 w}{p_2(4p_1 + p_2)}\right)$

$x_2^*(p, w)$

— Giskard
źródło

W przypadku CV, EV była to również moja intuicja. W przypadku drugiego dobra, gdy cena dobra 2 spadnie, efekt dochodu jest ujemny, a moje wrażenie było takie, że w przypadku towarów gorszych efekt dochodu zmierza w tym samym kierunku co cena. W każdym razie będę musiał ponownie poprosić mojego nauczyciela o klucz odpowiedzi, aby sprawdzić, czy po prostu źle pamiętam odpowiedzi. Ale czuję, że nie jestem.

— Kawaleria Kitsune

p_{2}

$p_2$

x_{2}

$x_2$

min α x_{1}, β x_{2}

$\min \alpha x_1, \beta x_2$

Masz rację, nie mam też powodu, dla którego myślałem, że są doskonałym uzupełnieniem ... :)

— Giskard