Znajdowanie rozkładów bogactwa z funkcji użytkowych

Maksymalizuj

$$\begin{align} U_1(x) \qquad & (1)\\ \text{s.t.} \quad U_2(a-x) = c \qquad & (2)\\ \end{align}$$

gdzie mamy pakiety $x = (x_1, x_2), \quad a = (3,5)$ i chcemy podzielić nasze zasoby między dwóch użytkowników.

$$\begin{align} U_1(x_1, x_2) & = (x_1 + 1)x_2 \\ U_2(x_1, x_2) & = 36 - (x_1 - 4)^2 - (x_2 - 6)^2 \end{align}$$

Pytanie brzmi

W równaniach wybranie innego prowadziłoby do innego . Znajdź wszystkie pomocą i . Ten zestaw punktów będzie obejmował te podziały bogactwa, które są rozsądne w tym sensie, że użyteczności nikogo nie można poprawić bez ranienia kogoś innego.c x x x 1 ∈ [ 0 , 3 ] x 2 ∈ [ 0 , 5 $(1)–(2)$$c$$x$$x$$x_1 ∈ [0, 3]$$x_2 ∈ [0, 5]$

Nie rozumiem, jak można rozwiązać , ponieważ myślę, że to daje$(1)-(2)$

$(x_1 + 1)x_2 - 36 − (x_1 − 4)^2 − (x_2 − 6)^2 = c$

Mogę wykreślić to jako , ale czuję, że nie o to pyta pytanie, ponieważ nie definiuje zestawu punktów. Jeśli ktoś może wskazać mi kierunek, w jaki mam odpowiedzieć na to pytanie, lub dać mi znać, czy muszę podać więcej informacji. Dzięki.$c = f(x_1,x_2)$

Z tego, jak to wygląda, dosłownie próbujesz odjąć od ( 1 ) , również niepoprawnie (Nie rozłożyłeś właściwie minusu). Mówi się, aby użyć równań 1 do 2, aby rozwiązać ten problem.$(2)$$(1)$

Musisz skonfigurować Lagrangian z problemem maksymalizacji:

$$\max_{x_1, x_2} \ (x_1 + 1)x_2 \\ \text{s.t.} \ 36 - (x_1 - 4)^2 - (x_2 - 6)^2 = c$$

Więc mamy

$$\mathcal{L} = (x_1 + 1)x_2 - \lambda[36 - (x_1 - 4)^2 - (x_2 - 6)^2 - c]$$

i powinieneś być w stanie się stąd przenieść.