Równoważność modelu LEN

Pozycja początkowa to model główny agent z niepełnymi informacjami (pokusą nadużycia) i następującymi właściwościami:

Narzędzie agenta: $u(z)=-e^{(-r_az)}$
Główna użyteczność: $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
Poziomy wysiłku $e\in \Bbb R$
Wyniki $x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
Kontrakt: $w(x)=a+bx$ ,

gdzie $r_A$ i $r_P$ to miara bezwzględnej awersji do ryzyka dla agenta i zleceniodawcy, odpowiednio do stopnia Arrow-Pratta.

Szukam optymalnego kontraktu dla zleceniodawcy do zaoferowania agentowi, gdy wysiłek agenta nie jest widoczny. Narzędzie zleceniodawcy można zapisać w następujący sposób:

U^{P} (e, a, b) = \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x

$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$

Chcę pokazać, że obowiązuje następująca równoważność, co oznacza, że maksymalizację użyteczności zleceniodawcy można zapisać jako RHS następującej równoważności:

max_{e, a, b} \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x \Leftrightarrow max_{e, a, b} (1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{P}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2}

$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$

gdzie $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ jest funkcją gęstości normalnej zmiennej losowej $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ , o oczekiwanej wartości $\mu(e)$ i wariancja $\sigma>0$ .

Próbowałem użyć jawnej formy $f(x|e)$ w LHS manipuluj nim trochę, a następnie dokonaj integracji, ale nie można uzyskać równoważności.

expected-utility asymmetric-information principal-agent

— Fusscreme
źródło

Najważniejsze jest to, że oczekiwana użyteczność zleceniodawcy z wypłaty $z$ uwarunkowane pewnym wysiłkiem $e$ można zapisać jako

mi [z | mi] - \frac{r_{p}}{2)} Var (z | mi) .

$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$

Innymi słowy, ponieważ bogactwo jest zwykle dystrybuowane, wykładnicza użyteczność ma prostą reprezentację „wariancji średniej”. Aby uzyskać pochodną, zobacz tutaj .

Uważam, że wypłata dyrektora $z$ równa się $x - w(x) = (1 - b)x - a$ . Łatwo jest zatem obliczyć (warunkową) średnią i wariancję $z$ :

mi [z | mi] = (1 - b) mi [x | mi] - mi [za] = (1 - b) μ (mi) - za,

$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$

Var [z | mi] = (1 - b)^{2)} Var (x | mi) - Var (za) = (1 - b)^{2)} σ^{2)} .

$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$

Wynika z tego, że oczekiwaną użyteczność zleceniodawcy można zapisać jako

(1 - b) μ (mi) - za - \frac{r_{p}}{2)} (1 - b)^{2)} σ^{2)} .

$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$