Równość użyteczności porządkowej i kardynalnej w przekształceniach - kto pierwszy to rozróżnił?

W kontekście preferencji między pewnymi pozycjami lub wyborami, możemy uznać funkcję wartości porządkowej (mianowicie, funkcje użyteczności) za równoważną przy monotonicznie rosnących przekształceniach $u(x)\equiv F(u(x))$ dla ścisłego zwiększenia funkcji $F$ , ale wartość kardynalna działa tylko przy przekształceniach liniowych, tj. $u(x)\equiv a u(x)+b$ dla dodatniego $a$ i stałej $b$ .

Aby dodać odniesienie do artykułu z filozofii ekonomii, chciałbym wiedzieć, kto pokazał to po raz pierwszy i gdzie? Von Neumann and Morgenstern (1947)? Debreu (1960)? Czy to tylko „folklor”?

Jestem świadomy historii użyteczności w ekonomii, kardynalnych podejść XIX wieku i przejścia do przedstawień porządkowych Pareto, Samuelsona itp. Ale nie mogę znaleźć dobrego „pierwszego” odniesienia do powyższego rozróżnienia.

Wydaje się, że to teoria gier i zachowań ekonomicznych (1944) Johna von Neumanna i Oskara Morgensterna . Mam wydanie z 1953 r., Które jest liczone jako „3d”, ale po przeczytaniu dołączonych wstępów do 2. i 3. edycji wydaje się, że nic istotnego nie zmieniło się w rozdziale 3 , w którym rozważam kwestię równoważności aż do transformacje liniowe.

W podrozdziale 3.4 autorzy omawiają ogólnie kwestię równoważności w przekształceniach dla dowolnego układu wielkości, głównie z fizyki. Kończą ten podrozdział pismem (odważnie podkreślam)

„Można przyjąć, że jedynym„ naturalnym ”punktem odniesienia w tej dziedzinie (użyteczności) jest relacja„ większa ”, tj. Koncepcja preferencji. W tym przypadku narzędzia są liczbowe aż do transformacji monotonicznej. ogólnie przyjęte stanowisko w literaturze ekonomicznej, najlepiej wyrażone techniką krzywych obojętności, aby zawęzić system transformacjikonieczne byłoby odkrycie dalszych „naturalnych” operacji lub relacji w dziedzinie użyteczności. W ten sposób Pareto wskazał (w V. Pareto, Manuel d'Economie Politique, Paryż, 1907, s. 264), że wystarczyłaby relacja równości dla różnic użyteczności; w naszej terminologii zredukowałoby to system transformacji do transformacji liniowych. Ponieważ jednak nie wydaje się, aby relacja ta była rzeczywiście „naturalna” - tj. Taka, którą można zinterpretować za pomocą powtarzalnych obserwacji - sugestia nie osiąga celu ”.

W podrozdziale 3.5 zaczynają od pisania

„Awaria jednego konkretnego urządzenia nie musi wykluczać możliwości osiągnięcia tego samego celu przez inne urządzenie. Uważamy, że dziedzina użyteczności zawiera„ naturalną ”operację, która zawęża system przekształceń dokładnie w takim samym stopniu, jak inne urządzenie zrobiłby to (*) . Jest to połączenie dwóch narzędzi z dwoma danymi alternatywnymi prawdopodobieństwami jak opisano w 3.3.2. Proces jest tak podobny do tworzenia centrów grawitacja wspomniana w 3.4.3., że może być korzystne stosowanie tej samej terminologii.$a, 1 — a, (0 < a < 1)$ ”

(*) Uwaga : „Awaria jednego konkretnego urządzenia” odnosi się do sugestii Pareto wspomnianej w poprzednim fragmencie. Mówią tutaj, że oprócz preferencji porządkowych, istnieje inna „naturalna operacja” związana z użytecznością (ale nie ta sugerowana przez Pareto), która jednak osiągnie ten sam cel, co sugestia Pareto, tj. Zawęzić dopuszczalne przekształcenia tylko na liniowe.

A która to „naturalna operacja”?

„... Połączenie dwóch narzędzi z dwoma danymi alternatywnymi prawdopodobieństwami$a, 1 — a, (0 < a < 1)$ ”

która wprowadza nas w świat oczekiwanej użyteczności.

Szczegóły znajdują się następnie wraz z dodatkiem „The Axiomatic Treatment of Utility” na końcu książki.

PS: Odrzucając sugestię Pareto, autorzy wyjaśniają, że oczekiwana użyteczność nie jest użytecznością kardynalną, ponieważ odrzucają oni istnienie „relacji równości między różnicami użyteczności”. To odrzucenie zachowuje zasadniczo porządkowy charakter oczekiwanej użyteczności.