Warunek pierwszego rzędu dla maksymalizacji zysków w branży hazardowej

Pracuję nad modelem optymalnego odsetka wypłat w branży hazardowej.

Ponieważ cena nominalna biletu za 1 USD wynosi zawsze 1 USD , stosujemy skuteczną strategię cenową, w której Q = 1 USD w wygranych nagrodach. Jeśli gra wypłaca 50%, efektywna cena wynosi 2 USD , ponieważ to właśnie musiałoby zostać wydane, aby wygrać oczekiwany 1 USD w nagrodach. Całkiem proste, prawda?

Cóż, natknąłem się na ten przypis w niektórych badaniach i nie mogę dowiedzieć się, w jaki sposób osiągnęli warunek pierwszego rzędu dla maksymalizacji zysku z pierwszego równania:

„Niech reprezentuje koszty operacyjne jako funkcję jednostek ilości, gdzie jedna jednostka ilości jest zdefiniowana jako jeden dolar w oczekiwanej wartości nagród. $C(Q)$

Zyski netto agencji loterii podaje

N = P Q - Q - C (Q)

$N = PQ - Q - C(Q)$

gdzie jest ceną naliczaną za jednostkę ilości. $P$

Można zapisać warunek pierwszego rzędu maksymalizacji zysku

- E_{P Q} = P (1 - C^{'}) / [P (1 - C^{'}) - 1]

$-E_{PQ} = P(1 - C')/[P(1 -C')- 1]$

Jeśli krańcowe koszty operacyjne stanowią procent sprzedaży, a stopa wypłaty wynosi procent, mamy i , co oznacza, że elastyczność cenowa popytu przy maksymalnym zysku wynosi . $6$ $50$ $P = 2$ $C' = .12$ $-2.3$

Aby wzrost stopy wypłat w celu zwiększenia zysków, musi przekraczać w wartości bezwzględnej. ” $E_{PQ}$ $2.3$

- [Cytowanie] Clotfelter, Charles T i Philip J Cook. „O ekonomice loterii państwowych”. Journal of Economic Perspectives: 105-19.

$-E_{PQ}$ $P$ $Q$

Jak skończyli tam, gdzie zrobili? Musi być coś, za czym tęsknię.

Mam problem ze zrozumieniem, w jaki sposób ten konkretny warunek pierwszego rzędu został osiągnięty - czy był to wynik jakiegoś procesu pochodnego w równaniu przychodu netto, czy też jest to po prostu warunek zewnętrzny.

Dzięki!

— zadowolony z danych
źródło

Tak! MathJax działa :-)

— LateralFractal

$11$ $P$ $P$ $Q$ $Q$ $P$

E_{P Q} = \frac{d Q / d P}{Q} P

$E_{PQ} = \frac {dQ/dP}{Q}P$

i spodziewamy się, że będzie on ujemny (wyższa cena oznacza niższą stopę wypłat prowadzącą do zmniejszenia popytu na miarę ilościową, tj. mniejszego „popytu na nagrody”).

max_{P} N = max_{P} [P \cdot Q (P) - Q (P) - C (Q (P))]

$\max_{P}N = \max_{P}\left[P\cdot Q(P) - Q(P) - C(Q(P))\right]$

Warunkiem pierwszego rzędu jest

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial N}{\partial P} = Q + P \cdot Q^{'} - Q^{'} - C^{'} \cdot Q^{'} = 0 \end{matrix}

$\frac{\partial N}{\partial P} = Q + P\cdot Q' - Q' - C'\cdot Q' = 0 \tag{1}$

Pomnóż przez : $P/Q$

Q \frac{P}{Q} + P \cdot Q^{'} \frac{P}{Q} - Q^{'} \frac{P}{Q} - C^{'} \cdot Q^{'} \frac{P}{Q} = 0

$Q\frac PQ + P\cdot Q'\frac PQ - Q'\frac PQ - C'\cdot Q'\frac PQ = 0$

\Rightarrow P + P \cdot E_{P Q} - E_{P Q} - C^{'} \cdot E_{P Q} = 0

$\Rightarrow P +P\cdot E_{PQ} - E_{PQ} - C'\cdot E_{PQ}=0$

\begin{matrix} (2) & \Rightarrow - E_{P Q} = \frac{P}{P - 1 - C^{'}} \end{matrix}

$\Rightarrow -E_{PQ} = \frac {P}{P-1-C'} \tag{2}$

To ma sens. Podłączamy wartości przedstawione w referencji, mamy

- E_{P Q} = \frac{2}{2 - 1 - .12} = \frac{2}{0.88} \approx 2.27

$-E_{PQ} = \frac {2}{2-1-.12} = \frac {2}{0.88} \approx 2.27$

co jest bardzo zbliżone do wartości wynikającej z równania przedstawionego przez autorów. Nie byłem w stanie, za pomocą jakichkolwiek prób algebraicznych, powtórzyć ich formułę, ale eq jest poprawne w każdym przypadku. Jeśli dojdzie do uzgodnienia, zaktualizuję. $(2)$

— Alecos Papadopoulos
źródło

Fantastyczny. Tutaj też skończyłem. Przepraszam, że nie uwzględniłem mojej poprzedniej pracy w pytaniu (muszę o tym pamiętać).

— datahappy

Wysłałem e-mail do autorów artykułu - jeśli odpowiedzą w dowolnym momencie, dodam ich uzasadnienie jako kolejną odpowiedź ... Poczekam, aby oznaczyć cię jako odpowiedź, aby dać innym ludziom czas na odpowiedź, ponieważ jesteśmy w fazie beta. :)

— datahappy

Oczywiście, że powinieneś poczekać. Chcemy więcej niż jednej odpowiedzi na pytanie!

— Alecos Papadopoulos,