Trudności ze zrozumieniem algorytmu kwantowego dla problemu ukrytej podgrupy abelowej

11

Mam trudności ze zrozumieniem ostatnich kroków algorytmu AHSP. Niech $G$ była grupą abelowa i $f$ jest funkcją, która ukrywa podgrupy $H$ . Niech $G^*$ reprezentują podwójną grupę $G$ .

Oto kroki algorytmu

Najpierw przygotuj państwo,

$\qquad \displaystyle I=\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |g\rangle|0\rangle$ .
Następnie zastosuj kwantową wyrocznię, która ocenia $f$ na $I$ , otrzymujemy

$\qquad \displaystyle I'=\sum_{g \in G} |g\rangle|f(g)\rangle$ .
Teraz zmierzmy drugi kubit $I'$ , rozumiemy

$\qquad\displaystyle I'= \left(\frac{1}{|H|}\Sigma_{g \in H} |rh\rangle\right) \otimes |f(rh)\rangle$

jakiegoś $r \in G$ .
Teraz stosujemy kwantową transformatę Fouriera na pierwszym kubicie

$\qquad \displaystyle I_m = \frac{1}{|H^*|}\sum_{\chi \in H^*} |\chi\rangle$ ,

gdzie . $H^*= \{\chi \in G^*: \chi(h)=1 ,\forall h \in H\}$

Teraz od państwowego jaki sposób możemy uzyskać generatorów w grupie ? $I_m$ $H$

ds.algorithms quantum-computing gr.group-theory

— użytkownik774025
źródło

Zdecydowanie polecam przeczytanie notatek z wykładów Andrew Childsa na temat AHSP. Są dostępne na stronie math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w13/qic823.html

— Robin Kothari,

4

Ta klasyczna obróbka końcowa wykorzystuje kilka nietrywialnych grupowych właściwości teoretycznych grup abelowych. Napisałem dydaktyczne wyjaśnienie, w jaki sposób działa ten klasyczny algorytm [1] ; inne dobre źródła do przeczytania to [ 2 , 3 , 4 ].

$H^{*}$ $H^{*}$ $G^{*}$ $O(\log{|G|})$ $H^{*}$

$H$ $H^{*}$

Teoria postaci

$G$ $G$

χ_{g} (h) = \exp (2 π i \sum_{i = 1}^{m} \frac{g (i) h (i)}{d_{i}}) .

$\begin{equation} \chi_g(h)=\exp{\left(2\pi i \sum_{i=1}^{m} \frac{g(i)h(i)}{d_i}\right)}. \end{equation}$

g

$g$

χ_{g}

$\chi_g$

G

$G$

g \to χ_{g}

$g\rightarrow \chi_g$

G^{*}

$G^*$

G

$G$

$H$ $H^*$ $H$ $H$

$H^*$ $G$
$H$ $H^{**}$ $H$ $H\cong H^{**}$
$χ_{g} (h) = 1, for every g \in H^{*}$ $\chi_g(h)=1,\quad \textrm{ for every } g\in H^*$ $H$

Równania liniowe nad grupami

$X$ $Y$ $b\in Y$ $\alpha:X\rightarrow Y$

α (x) = b

$\alpha(x)=b$

A

$A$ , w taki sposób, że powyższy problem może zostać ponownie wyrażony jako gdzie przyjmujemy .

A x = (\begin{matrix} a_{1} (1) & a_{2} (1) & \dots & a_{n} (1) \\ a_{1} (2) & a_{2} (2) & \dots & a_{n} (2) \\ ⋮ & ⋮ & \dots & ⋮ \\ a_{1} (m) & a_{2} (m) & \dots & a_{n} (m) \end{matrix}) (\begin{matrix} x (1) \\ x (2) \\ ⋮ \\ x (n) \end{matrix}) = (\begin{matrix} b (1) \\ b (2) \\ ⋮ \\ b (m) \end{matrix}) \begin{matrix} \mod d_{1} \\ \mod d_{2} \\ ⋮ \\ \mod d_{m} \end{matrix} = b

$\begin{equation} A x= \begin{pmatrix} a_1(1) & a_2(1) & \cdots & a_n(1)\\ a_1(2) & a_2(2) & \cdots & a_n(2)\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ a_1(m) & a_2(m) & \cdots & a_n(m) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(1)\\ x(2)\\ \vdots\\ x(n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b(1) \\ b(2) \\ \vdots\\ b(m) \end{pmatrix} \begin{matrix} \mod d_1\\ \mod d_2\\ \vdots\\ \mod d_m \end{matrix} = b \end{equation}$

Y = Z_{d_{1}} \times \dots \times Z_{d_{m}}

$Y=\mathbb{Z}_{d_{1}}\times\cdots\times \mathbb{Z}_{d_{m}}$

Ostatnią kluczową obserwacją jest to, że istnieją wydajne klasyczne algorytmy do decydowania, czy systemy te dopuszczają rozwiązania, liczą je i je znajdują (badamy niektóre w [1] ). Zbiór rozwiązań ma zawsze postać , gdzie jest konkretnym rozwiązaniem, a jest jądrem (podgrupy ). Te klasyczne algorytmy mogą znaleźć określone rozwiązanie systemu i obliczyć zestaw generatora . Te klasyczne algorytmy wykorzystują kluczowe formy Smitha $x_0+\ker{\alpha}$ $x_0$ $\ker{\alpha}$ $\alpha$ $X$ $\ker{\alpha}$ przepisać system w niemal przekątnej formie (konieczne są inne pośrednie kroki, ale powinno to dać intuicyjny obraz).

Układ równań, które można uzyskać w przypadku koduje ukrytej podgrupy . W szczególności ma postać , dla niektórych homomorfizmów grupowych . Jądro jest właśnie ukrytą podgrupą. Szczególnym rozwiązaniem w tym przypadku jest 0, trywialne. $H$ $\Omega x = 0$ $\Omega$ $\Omega$

— Juan Bermejo Vega
źródło

2

Po kroku 4, pomiar w podstawie obliczeniowej losowo da nam jeden . $I_m$ $\chi \in G^*$

Następnie powtórz wszystkie kroki zostały podane razy, aby uzyskać listę znaków w podwójnej grupy . Ta lista znaków generuje podgrupę podwójnej grupy . $n$ $n$ $G$ $K$ $G^*$

Następnie sprawdzamy poprzez (klasycznie) wszystkie możliwe podgrupy , aby znaleźć taki, gdzie jest . $H$ $H^*$ $K$

Dla ustalonego nie zawsze jest to unikalne dopasowanie, więc gdy występuje degeneracja, wybieramy po prostu największe dopasowanie (ponieważ trywialna podgrupa dopasuje wszystkie listy znaków). $n$

— WJ Zeng
źródło