Mam wrażenie, że ogólnie rzecz biorąc, tradycyjna algebra jest zbyt specyficzna, aby można ją było zastosować w informatyce. Informatycy albo stosują słabsze (a zatem bardziej ogólne) struktury, albo uogólniają tradycyjne struktury, aby dopasować je do swoich potrzeb. Używamy również teorii kategorii dużo, których matematycy nie uważają za część algebry, ale nie rozumiemy, dlaczego nie. Regimentacja tradycyjnej matematyki na „algebrze” i „topologii” uważamy za osobne gałęzie niewygodne, a nawet bezcelowe, ponieważ algebra jest generalnie pierwszego rzędu, podczas gdy topologia ma szansę zajmować się aspektami wyższego rzędu. Tak więc struktury używane w informatyce mają mieszaną algebrę i topologię. W rzeczywistości powiedziałbym, że mają tendencję raczej do topologii niż algebry. Regimentacja rozumowania do „algebry” i „logiki” jest kolejnym bezcelowym podziałem z naszego punktu widzenia, ponieważ algebra zajmuje się właściwościami równań, podczas gdy logika dotyczy również wszystkich innych rodzajów właściwości.
Wracając do pytania, półgrupy i monoidy są dość intensywnie wykorzystywane w teorii automatów. Eilenberg napisał 2-tomową kolekcję , z których drugą jest prawie całkowicie algebra. Powiedziano mi, że planował cztery tomy, ale jego wiek nie pozwolił na zakończenie projektu. Jean-Eric Pin ma zmodernizowaną wersję wielu tych treści w książce online . Automaty to „moduły monoidów” (zwane również „działaniami monoidów” lub „aktami”), które są na odpowiednim poziomie ogólności dla informatyki. Tradycyjne moduły pierścieniowe są prawdopodobnie zbyt specyficzne.
Teoria kratowa była główną siłą w rozwoju semantyki denotacyjnej. Topologia została zmieszana z teorią sieci, gdy informatycy wspólnie z matematykami opracowali ciągłe sieci, a następnie uogólnili je na dziedziny . Powiedziałbym, że teoria domen jest własną matematyką informatyków, o której tradycyjna matematyka nie ma wiedzy.
Algebra uniwersalna służy do definiowania specyfikacji algebraicznych typów danych . Po dotarciu na miejsce informatyści od razu zauważyli potrzebę zajęcia się bardziej ogólnymi właściwościami: równaniami warunkowymi (zwanymi także klauzulami równania Rogu) i właściwościami logicznymi pierwszego rzędu, wciąż wykorzystując te same idee algebry uniwersalnej. Jak można zauważyć, algebra łączy się teraz w teorię modeli.
Teoria kategorii jest podstawą teorii typów. Ponieważ informatycy wciąż wymyślają nowe struktury do radzenia sobie z różnymi zjawiskami obliczeniowymi, teoria kategorii stanowi bardzo pocieszające ramy, w których można umieścić wszystkie te pomysły. Używamy również struktur, które są włączane przez teorię kategorii, które nie istnieją w „tradycyjnej” matematyce, takich jak kategorie funktorów. Również algebra wraca do obrazu z kategorycznego punktu widzenia w zastosowaniu monad i algebraicznych teorii efektów . Koalgebry , które są dualistami algebry, również znajdują wiele zastosowań.
Istnieje więc szerokie zastosowanie „algebry” w informatyce, ale nie jest to rodzaj algebry spotykany w tradycyjnych podręcznikach algebry.
a : X→ Ya:X→Yb:Y→Zab:X→Zn×nmacierze mają operację mnożenia, co czyni je monoidami. Jednak macierzy (gdzie i mogą być różne) tworzą kategorię. Monoidy są zatem szczególnymi przypadkami kategorii, które mają jeden typ. Pierścienie są specjalnymi przypadkami kategorii dodatków, które mają jeden typ. Moduły to specjalne przypadki funktorów, w których kategorie źródłowa i docelowa mają jeden typ. Wkrótce. Teorią kategorii jest algebra maszynowa, której typy sprawiają, że jest ona nieskończenie bardziej przydatna niż algebra tradycyjna.m nm×nmn