Nierozstrzygalne problemy ograniczają teorie fizyczne

Czy istnienie nierozwiązywalnych problemów natychmiast implikuje nieprzewidywalność układów fizycznych? Rozważmy problem zatrzymania, najpierw konstruujemy fizyczny UTM, powiedzmy, używając zwykłej konstrukcji opartej na obwodach. Wtedy nie może istnieć rozstrzygalna teoria fizyczna, która mogłaby określić, przy dowolnym ustawieniu wejściowym obwodów, czy obwód się zatrzyma. Wydaje się to trywialnością, ale czy nie daje nam to słabego rodzaju nieprzewidywalności bez odniesienia do rozważań kwantowych lub chaotycznych? Co więcej, możemy wzmocnić powyższy argument, zauważając, że nie ma nic specjalnego w UTM opartym na obwodach, więc mamy, że zachowanie systemu fizycznego jest ogólnie nierozstrzygalne na każdym poziomie, na którym można zbudować UTM.

Edycja: jak wskazali Babou i Ben Crowell, moja sugerowana konstrukcja obwodu jest jedynie LBA. Jak argumentowałem w komentarzach, wyobrażam sobie maszynę, która jest fizyczna, ale nie jest liniowo ograniczona, i intuicyjna. Po prostu zbuduj maszynę (robota), która może wielokrotnie mechanicznie poruszać się w lewo / w prawo na wejściu i założyć, że ma skończone, ale nie wygasające źródło zasilania. Teraz natrafiamy również na problem polegający na tym, że wszechświat jest skończony, ale to pozwala nam dojść do wniosku, że wszechświat jest skończony, lub pierwotnie oczekiwana konsekwencja musi być prawdziwa (byłby to zaskakujący wniosek do wyciągnięcia z powyższego argumentu) .

Początkowo miało to być komentarzem, ponieważ nieco przesuwa się pytanie. Ale myślę, że odpowiada na swój własny sposób.

To, co wiadomo lub do tej pory próbowano, pokazuje, że połączenie teorii obliczeń z fizyką może być dość subtelnym przedsięwzięciem i obawiam się, że podejście zaproponowane w pytaniu jest prawdopodobnie nieco zbyt surowe. Nie jestem pewien, czy jest to znacznie lepsze niż klasyczny argument, że wszystko jest skończone, wszystko czego potrzebujemy, to teoria automatów skończonych, a studiowanie maszyn Turinga to strata czasu. (Nie mój pogląd na rzeczy)

Dlaczego takie problemy należy rozwiązywać ostrożnie

Prawdopodobnie powinienem motywować powyższe porównanie argumentem skończonych automatów. Uważam, że obliczalność jest, być może nawet bardziej niż złożonością, asymptotyczną teorią: ważne jest to, co dzieje się w nieskończoności. Ale nie wiemy, czy wszechświat jest skończony czy nieskończony. Jeśli jest skończony, to po co rozważać obliczenia nieskończone. Poniższe dotyczy fizyki, a ja nie jestem fizykiem. Dokładam wszelkich starań, aby być dokładnym, ale zostałeś ostrzeżony .

Często widzimy Wielki Wybuch jako „czas”, kiedy cały wszechświat był bardzo małym czymś o bardzo małym rozmiarze. Ale jeśli w pewnym momencie miał rozmiar, jak później przekształcił się w coś nieskończonego. Nie próbuję powiedzieć, że to niemożliwe ... Nie mam najmniejszego pojęcia. Ale możliwe, że zawsze był nieskończony.

Rozważmy zatem wszechświat jako nieskończony. Czy to nam pomaga? Cóż, mamy pewne problemy z prędkością światła. Jeśli weźmiemy pod uwagę to, co może być istotne tutaj (tam, gdzie jesteśmy), musimy wziąć pod uwagę, że może nas martwić tylko część wszechświata zawarta w sferze skończonej. Promień tej kuli jest taki, że względna prędkość dwóch punktów w odległości$r$$r$ze względu na ekspansję jest równy prędkości światła. Zgodnie z tym, co obecnie wiemy, bez przyszłej zmiany prędkości ekspansji, nic poza tą sferą nigdy nie będzie nas martwić. Wszechświat jest dla nas skończony dla wszystkich praktycznych celów. W rzeczywistości jest jeszcze gorzej, jeśli weźmie się pod uwagę zawartość tego istotnego wszechświata: kurczy się (chyba że istnieje proces tworzenia). Powodem jest to, że kula rozszerza się poza swoją średnicę, niosąc ze sobą część swojej zawartości, która również staje się nieistotna. Uwaga: ta kula nie jest tym, co nazywa się obserwowalnym wszechświatem (który jest zależny od wieku wszechświata), jest znacznie większa.

Zatem nie tylko „nasz” wszechświat jest skończony, ale jego zasoby mogą się kurczyć. Jest możliwe, że za tak wiele miliardów lat tylko nasza galaktyka może nadal być dla nas istotna (zakładając, że nadal istniejemy), z galaktyką Andromeda, która uderzy wcześniej w Drogę Mleczną.

Cóż, nie wiem, co obecnie uważa się za ustalone, ale pokazuje przynajmniej, że założenie nieskończoności jest dużym założeniem.

Jest jednak tak, że ograniczenia fizyczne uniemożliwiają nam zastosowanie teorii obliczalności. Z powyższego można wywnioskować, że wyciągnięcie fizycznych wniosków z prac teoretycznych na maszynach Turinga i problemu zatrzymania może być nierozsądne.

Jednak odnośne techniki mogą również dać użyteczne wyniki w przypadku zastosowania do urządzeń lub formalności, które nie są kompletne w Turinga. Nie próbowałbym zagłębiać się w szczegóły, choćby dlatego, że złożoność algorytmiczna nie jest moim obszarem, ale zgaduję, że gdyby struktura wszechświata była dyskretna, złożoność mogłaby być w jakiejś formie istotna dla zachowania niektórych zjawisk. Bo to z mojej strony tylko dzikie spekulacje. Niektóre z badań, o których mówię poniżej, dotyczą takich kwestii dyskrecji.

Kilka przykładów prac związanych z fizyką i teorią obliczeń

Istnieje znaczna część pracy, która próbuje powiązać obliczenia i fizykę, z których prawie nie znam. Tak więc, proszę, nie polegaj na niczym, co mógłbym powiedzieć , ale po prostu weź to za wskazówki, aby wyszukać potencjalnie istotną pracę.

Znaczna część tej pracy dotyczy aspektów termodynamicznych, takich jak możliwość odwracalnego przetwarzania bez kosztów energii. Myślę, że wiąże się to z programowaniem funkcjonalnym, ponieważ są to skutki uboczne, które kosztują energię (ale nie ufajcie mi). Możesz wziąć ze strony wikipedię jako wstęp, ale Google dostarczy wielu referencji .

Prowadzone są także prace mające na celu powiązanie tezy Kościoła z fizyką, w tym między innymi gęstość informacji. Zobacz na przykład:

• Fizyczna teza Kościoła Turinga i zasady teorii kwantowej

• Wokół fizycznej tezy Turinga: automaty komórkowe, języki formalne i zasady teorii kwantowej ,

• Fizyka i teza Kościoła .

Niejasno pamiętam, jak widziałem inne interesujące ujęcia w tej sprawie, ale teraz mi to ucieka.

Następnie masz pracę Lamporta nad synchronizacją zegarów i względnością w systemach rozproszonych .

I oczywiście masz obliczenia kwantowe, które najwyraźniej zmieniają niektóre (osiągalne) złożoności czasowe, chociaż nie wpływa to na obliczalność.

Innym podejściem jest praca Wolframa nad modelowaniem praw fizycznych za pomocą automatów komórkowych , chociaż realne korzyści z tej pracy wydają się kwestionowane.

Myślę, że próba zrozumienia całej tej pracy może przybliżyć cię do zrozumienia, w jaki sposób możesz powiązać wiedzę na temat obliczeń z (jako sugerującymi) teoretycznymi ograniczeniami świata fizycznego, chociaż jak dotąd trend polegał raczej na powiązaniu ograniczeń obliczalności z (jako konsekwencjami) ) właściwości wszechświata fizycznego.

Jednym z możliwych problemów w tym wszystkim jest samo osadzenie się wszystkich naszych teorii (matematyka, obliczenia, fizyka, ...) w granicach pojęć, które można wyrazić składniowo (tj. Za pomocą języka), co może ograniczyć moc ekspresyjną naszej nauki. Ale nie jestem pewien, czy poprzednie zdanie ma znaczenie ... przepraszam za to, to najlepsze, co mogę zrobić, aby wyrazić jedną dokuczliwą wątpliwość.

W ramach osobistego rozczarowania dodam, że fizycy (przynajmniej na http://physics.stackexchange.com ) nie są zbyt przyjaźnie nastawieni do dyskusji na temat tego, co inne nauki mogą mieć do powiedzenia na temat problemów fizycznych (choć chętnie dyskutują co fizyka może mieć do powiedzenia na temat innych nauk).

Pytanie to częściowo dotyczy nieprzewidywalności układów fizycznych . Nierozstrzygalność pojawia się w kilku problemach fizycznych. Wczesne badanie przeprowadzone przez Wolframa, Nierozstrzygalność i nietykalność w fizyce teoretycznej (lub tutaj ) i ten obszar wciąż się poszerza. Jednak lepszym sposobem na zrozumienie fizycznej nieprzewidywalności jest więcej dzięki tak zwanej „wrażliwej zależności od warunków początkowych”, czyli efektu motyla . Można to zbadać za pomocą atraktora Lorentza jako modelu półzabawki.

Pytanie jest interesujące (możesz sprawdzić powiązane pytanie „Czy istnieje związek między problemem zatrzymania a entropią termodynamiczną?” )

Istotą problemu jest to, co jest pierwsze, matematyka czy fizyka? Cóż, fizyka jest odpowiedzią . Cytat Einsteina mówi: „ rodzaj matematyki, którą wykonujemy, zależy od świata, w którym żyjemy ” (jeśli się nie mylę, jest to w „Einstein, filozof-naukowiec”) (i innym powiązanym i nieco sparafrazowanym „ Natura robi” nie dbamy o nasze trudności matematyczne. Integruje się empirycznie " ). W tym sensie pewne cechy fizyczne znajdują odzwierciedlenie w matematycznej symbolice i procedurze. Ale można również przyjąć przeciwny pogląd, że matematyka definiuje fizykę (pogląd, który jest dość popularny w niektórych kręgach).

Istnieje fragment we wstępie książki „Algebra liniowa” autorstwa J. B. Fraleigha, R. A. Beauregarda (dobra książka na ten temat i kwestia, którą chciałem poruszyć, biorąc pod uwagę tę możliwość)

Liczby istnieją tylko w naszych umysłach. Nie ma bytu fizycznego, który jest numerem 1. Gdyby tak było, 1 byłby na honorowym miejscu w jakimś wielkim muzeum nauki, a w przeszłości gromadziłby stały strumień matematyków wpatrujących się w 1 z podziwem i podziwem.

Ale to nie jest prawda , rzeczywiście jest coś, czego doświadczamy i jest to jedno (dosłownie) , słońce (uważajcie nie gwiazdy w nocy ani księżyca, który nie jest postrzegany jako jeden we wszystkich okolicznościach, słońce, jedyne widoczne) rzecz na niebie w świetle dziennym). (i rzeczywiście był on historycznie przedmiotem honoru i podziwu dla ludzkości). Można pójść dalej i omówić inne rzeczy, które odczuwamy jako dwa lub trzy i cztery ( dwie ręce, pięć palców i tak dalej), ale głównym punktem nadano (dla Wyszukiwanie więcej informacji o " prehistorii i historii systemów numerycznych „)

Powiedz przez chwilę, że wynik matematyczny mógłby coś powiedzieć, ale wtedy teoria fizyczna zapewniłaby procedurę pozwalającą osiągnąć coś przeciwnego (w rzeczywistości konstruktywny dowód przeciwności). Wtedy coś byłoby nie tak, są one szczególnie powiązane, gdy stosują dokładnie ten sam formalizm. Intuicyjne jest, że powinny one być jakoś powiązane.

Na przykład wynik matematycznej niemożliwości ograniczyłby matematyczny opis teorii fizycznej, która wymagałaby takiego wyniku i tak dalej. Przykładem, którego mogę teraz użyć, jest tak zwana „teoria wszystkiego”. Ma opisywać w formie matematycznej wszystkie zachodzące interakcje fizyczne, a więc opisywać wszystko. Jednak z twierdzenia Goedela wiadomo, że taki opis byłby niekompletny w takim czy innym sensie. Czy to mówi coś o świecie, w którym żyjemy? Najprawdopodobniej.

Ale wyniki niemożliwości są znane w kategoriach czysto fizycznych i większość z nich dotyczy termodynamiki. Na przykład „Ciepło przepływa od gorącego do zimnego”. To wynik niemożliwości. Ogranicza to jednak również wszelkie wyniki matematyczne, które sugerowałyby (przy odpowiednim zastosowaniu), że ciepło przepływa z zimna do gorącego , tak się nie dzieje. Tak więc matematyka może być ograniczona terminami fizycznymi . Prawdziwe pytanie brzmi, jakie jest dokładne połączenie (jeśli w ogóle) między tymi dwoma, a jest to bardzo interesujące pytanie z interesującymi dalekosiężnymi wynikami. Na przykład możesz sprawdzić pracę G. Chaitina, która dotyczy teorii informacji, twierdzeń Goedela i systemów biofizycznychna początek. Niektóre inne połączenia zostały już wspomniane, takie jak obliczenia odwracalne, obliczenia kwantowe i tak dalej.

Na koniec pamiętaj, że fizyka polega na eksperymentach w celu formułowania i weryfikacji rzeczy, a nie na dowodach symbolicznych . (A) Opis matematyczny teorii fizycznej jest ważny z punktu widzenia obliczeń, więc matematyka problematyczna może ograniczać lub w inny sposób stwarzać problemy z mocą obliczeniową teorii, eksperyment pozostaje jednak. I pamiętaj, że fizycy są zwykle wśród twórców nowej matematyki stosownie do potrzeb (np. Rachunek różniczkowy i równania różniczkowe, Prawdopodobieństwa, Analiza Tensora, Procedura renormalizacji w mechanice kwantowej, Regularyzacja analityczna i tak dalej)

Jeśli chodzi o twój przykład łączenia nieprzewidywalności z TM, połączenie może być wykonane i może wymagać nieskończonej taśmy, pod warunkiem, że maszyna będzie musiała obliczyć z nieskończoną precyzją (tj. Liczby nieracjonalne / transcendentalne, które nie są w żaden sposób wykluczone z fizycznego system). Wtedy maszyna LBA nie będzie wystarczająco silna, aby obliczyć dany system fizyczny i wejdzie się w nieskończoną taśmę UTM, która ma problem z zatrzymaniem. Pytanie, czy nieprzewidywalność można przypisać warunkom początkowym (nauczana formalna definicja chaotycznego zachowania), czy samo obliczenie, nie ma istotnego znaczenia, ponieważ przesuwa problem w inne miejsce zamiast go rozwiązać.

Babou,

To rzeczywiście bardzo interesujące pytanie, ale jak powiedziano powyżej, powstało wiele literatury na ten temat. Przynajmniej tyle można powiedzieć po przeczytaniu wszystkiego, że mapowanie UTM na systemy fizyczne wcale nie jest proste - jakkolwiek uwodzicielski jest ten pomysł.

Osobiście lubię zaczynać od koncepcji odwracalnego przetwarzania danych wprowadzonej przez Landauera i wspomnianej w poprzednich odpowiedziach. Wydaje się, że istnieje entropijny związek między entropią a UTM.

Pomyśl o tym w ten sposób: wyobraź sobie, że chcesz przejść od punktu A do punktu B (odrębny geograficznie), stosując plan deterministyczny (tj. Kilka kroków, które można zapisać z góry, np. UTM: idź prosto na 100 m, skręć w prawo na piekarnia, spacer 50m itp.). Możesz przejść odległość raz. Dwa razy. Trzy razy. Ile razy możesz to zrobić? O ile nie uwzględnisz w swoim planie nieskończonego zapasu jedzenia i wody, będziesz musiał zatrzymać się po skończonej liczbie podróży. Ale chociaż taśma UTM jest nieskończona, liczba kroków samej TM musi być zapisana skończoną liczbą znaków. Dlatego twój plan nie może obejmować nieskończonej ilości jedzenia i wody.

Teraz energia jest ilością konserwatywną. Możesz więc pomyśleć, że skończona ilość zapasów powinna wystarczyć. Ale najwyraźniej nie jest to twój problem. Nawet jeśli będziesz podróżował bardzo wolno między A i B, twoje ciało zamieni twoje jedzenie w coś, czego nie będziesz mógł już spożywać. Zauważ, że jeśli spróbujesz uciec od tego problemu i pójdziesz NIESKOŃCZONO powoli (quasi-statycznie między A i B), nie będziesz już mógł napisać swojego „planu” ze skończoną liczbą znaków. Tak więc wzrost entropii termodynamicznej (degradacja jedzenia i wody w wyniku przetwarzania twojego ciała) wydaje się ograniczać liczbę podróży, które możesz odbyć trzymając się planu deterministycznego (tj. UTM).

Jeśli jest to słuszne, nieprzewidywalność TM musi być odwzorowana na wzrost entropii termodynamicznej.Zauważ, że wydaje się to dość sprzeczne z intuicją (jak powiedziano wcześniej, że tego rodzaju mapowanie nie jest wcale trywialne): do nieskończoności wzrost entropii termodynamicznej prowadzi do równowagi, tj. Do czegoś stabilnego; ale ta sama nieskończona granica odpowiedniego UTM prowadzi do losowego zachowania (tzn. nie jesteśmy pewni, jaki rodzaj danych wyjściowych). Jest to tym bardziej uderzające, że kula toczy się po wypukłej krzywej z tarciem: entropia termodynamiczna zatrzymuje piłkę przy niskim odpływie krzywej, co jest dość łatwe do przewidzenia; ale odpowiednik UTM powie Ci, że „coś losowego” dzieje się na końcu, czego nie można przewidzieć. Czy to dlatego, że musimy odwzorować tę nieprzewidywalność na losowy ruch atomów powstały w wyniku rozpraszania ciepła ruchu kuli na powierzchni krzywej? Że'

Mam nadzieję, że to pomaga!

Myślę, że dobrym tego przykładem jest gra Conwaya.

Odkąd wymyśliliśmy reguły, znamy je doskonale. Jest to analogiczne do teorii fizycznej.

Jednak pomimo tego, jak proste są reguły i fakt, że je znamy, życie jest nierozstrzygalne .

Podobnie, nawet jeśli poznamy wszystkie prawa fizyki, może się okazać, że są one również nierozstrzygalne.

Naprawdę nic nie możesz na to poradzić. Należy jednak pamiętać, że można przewidzieć grę życia Conwaya dla dowolnej liczby kroków . To samo może się okazać dla fizyki.

Czy istnienie nierozwiązywalnych problemów natychmiast implikuje nieprzewidywalność układów fizycznych?

Nie.

najpierw konstruujemy fizyczny UTM, powiedzmy, używając zwykłej konstrukcji opartej na obwodach.

Uniwersalna maszyna Turinga to maszyna Turinga. Maszyna Turinga ma nieskończoną (lub nieskończenie rozciągliwą) taśmę. Dlatego nie możesz zbudować jednego z obwodów. To, co możesz zbudować, to automat związany liniowo (LBA).

Wtedy nie może istnieć rozstrzygalna teoria fizyczna, która mogłaby określić, przy dowolnym ustawieniu wejściowym obwodów, czy obwód się zatrzyma.

Problem zatrzymania jest rozstrzygalny dla LBA, więc twój argument się nie powiedzie.