Co to są transformacje afiniczne?

Co to są transformacje afiniczne? Czy dotyczą one tylko punktów, czy też innych kształtów? Co to znaczy, że można je „skomponować”?

transformations affine-transformations

— luser droog
źródło

Przekształcenie afiniczne jest przekształceniem liniowym + wektorem translacji.

[\begin{matrix} x^{'} & y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x & y \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] + [\begin{matrix} e & f \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}x'& y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e& f\end{bmatrix}$

Można go zastosować do pojedynczych punktów lub linii, a nawet krzywych Beziera. W przypadku linii zachowuje właściwość, że linie równoległe pozostają równoległe. W przypadku krzywych Beziera zachowuje właściwości wypukłego kadłuba punktów kontrolnych.

Po pomnożeniu tworzy 2 równania do otrzymania „transformowanej” pary współrzędnych z oryginalnej pary i listy stałych . $(x', y')$ $(x, y)$ $(a, b, c, d, e, f)$

x^{'} = a \cdot x + c \cdot y + e y^{'} = b \cdot x + d \cdot y + f

$x' = a\cdot x + c\cdot y + e \\ y' = b\cdot x + d\cdot y + f$

Dogodnie transformację liniową i wektor translacji można połączyć w matrycę 3D, która może działać na współrzędnych homogenicznych 2D.

[\begin{matrix} x^{'} & y^{'} & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}x'& y'&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}$

Co daje te same 2 równania powyżej.

Bardzo dogodnie same macierze mogą być mnożone razem, aby uzyskać trzecią macierz (stałych), która wykonuje taką samą transformację, jak oryginalna 2 wykonałaby po kolei. Mówiąc prościej, mnożenia macierzy są asocjacyjne.

\begin{matrix} [\begin{matrix} x^{″} & y^{″} & 1 \end{matrix}] & = & ([\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}]) \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} a \cdot x + c \cdot y + e & b \cdot x + d \cdot y + f & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}] \\ = & {[\begin{matrix} g (a \cdot x + c \cdot y + e) + i (b \cdot x + d \cdot y + f) + k \\ h (a \cdot x + c \cdot y + e) + j (b \cdot x + d \cdot y + f) + m \\ 1 \end{matrix}]}^{T} \\ = & [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot ([\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}]) \\ = & [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a g + b i & a h + b j & 0 \\ c g + d i & c h + d j & 0 \\ e g + f i + k & e h + f j + m & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{matrix} \begin{bmatrix}x''& y''&1\end{bmatrix} & = & \left( \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}\right) \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix}a \cdot x + c \cdot y+e & b \cdot x + d \cdot y+f &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix}g(a \cdot x + c \cdot y+e) + i( b \cdot x + d \cdot y+f) + k \\ h(a \cdot x + c \cdot y+e) + j( b \cdot x + d \cdot y+f) + m \\1 \end{bmatrix}^T \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \right) \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}ag+bi& ah+bj &0\\ cg+di&ch+dj&0 \\ eg+fi+k&eh+fj+m&1\end{bmatrix} \end{matrix}$

Alternatywnie możesz rozważyć kilka podstawowych typów transformacji i skomponować dowolną bardziej złożoną transformację, łącząc je (mnożąc je razem).

Przekształcenie tożsamości

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

skalowanie

[\begin{matrix} S_{x} & 0 & 0 \\ 0 & S_{y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

$(S_x, S_y) = (-1,1)$ $(1,-1)$

Tłumaczenie

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_{x} & T_{y} & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix}$

Pochyl x o y

[\begin{matrix} 1 & Q_{x} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & Q_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Pochyl y o x

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_{y} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Obrót

[\begin{matrix} \cos θ & - s i n θ & 0 \\ \sin θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \cos\theta & -sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[Uwaga: Pokazałem tutaj Matrycę, która akceptuje wektor wiersza po lewej stronie . Transpozycja tych macierzy będzie działać z wektorem kolumny po prawej stronie.]

Macierz złożona wyłącznie ze skalowania, obrotu i translacji można ponownie rozłożyć na te trzy elementy .

— luser droog
źródło

Świetna odpowiedź. Możesz dodać, że jednym ze sposobów myślenia o transformatach afinicznych jest to, że utrzymują równoległe linie równoległe. Stąd skalowanie, obrót, translacja, ścinanie i kombinacje liczą się jako afiniczne. Rzut perspektywiczny jest przykładem transformacji bez afinii.

— ap_

Możesz dodać kilka zdjęć. Jeśli tego nie zrobisz: P Warto również wspomnieć o kolejności w macierzy, a orientacja wierszy / kolumn jest dowolna. I że obroty w 3D nie są przemienne.

— joojaa

@joojaa Zrobiłem zdjęcia! źródła postscriptowe

— luser droog

Warto również wspomnieć, że przekształcenia sztywnego ciała są podzbiorem przekształceń afinicznych, a przekształcenia afiniczne są podzbiorem przekształceń perspektywicznych.

— user1118321

Od czasu do czasu czytam to ponownie i nie mogę do końca powiedzieć, ale być może źle opisałem transformacje skośne. Krzywy są mylące. Jeśli ktoś to widzi i chce spróbować edycji, pomóż wyjaśnić tę część!

— luser droog