Okluzja przecięcia sfery (do hybrydowego raytracingu)

Myśląc o hybrydowym raytracingu, stąd następujące pytanie:

Załóżmy, że mam dwie solidne kule $s_1$ i $s_2$. Znamy ich centra i promienie oraz wiemy, że mają one pewną nakładającą się objętość w przestrzeni.

Mamy typową konfigurację grafiki 3D: zakładamy, że oko jest u źródła, i rzutujemy sfery na płaszczyznę widoku w $z = f$ dla niektórych pozytywnych $f$. Sfery znajdują się poza płaszczyzną widoku i nie przecinają jej.

Pozwolić $c$ być okręgiem w przestrzeni, który jest punktami na powierzchni obu sfer, tj. widzialnym (pod pewnymi kątami) „łączeniem” ich nakładających się objętości.

Chcę obliczyć, czy którykolwiek $c$jest widoczny, gdy jest rzutowany na naszą płaszczyznę widoku. Może nie być, jeśli$s_1$ lub $s_2$ całkowicie przeszkadzać.

Jakieś pomysły na to?

Biorąc pod uwagę, że niczego nie przeoczyłem, prawdopodobnie można to ograniczyć do problemu w przestrzeni 2D. Patrząc na płaszczyznę zdefiniowaną przez punkty środkowe kulek i początek kamery, scena wygląda następująco:

Kule stają się okręgami z punktami środkowymi $C_1$ i $C_2$, a okrąg przecięcia ma teraz tylko 2 punkty z tylko jednym bliższym $P$być interesującym. Kamera / oko jest dowolnie ustawione na punkt$E$.

Obliczanie, czy jeden punkt na sferach jest widoczny, czy nie jest łatwe: po prostu sprawdź, czy kąty w punkcie $P$ pomiędzy $E$ i $C_1$ odpowiednio $E$ i $C_2$są oba większe (lub równe) 90 stopni ¹ .

Gdyby $P$jest widoczna, widoczna jest część (np. przynajmniej ten punkt) okręgu przecięcia. W przeciwnym razie całe koło przecięcia musi zostać zasłonięte przez jedną z twoich sfer, mianowicie tę, która tworzy kąt mniejszy niż 90 stopni.

Oto jak to wygląda $P$ nie jest widoczne z $E$:

Możesz wyraźnie zobaczyć, jak ten punkt jest zasłonięty przez okrąg dookoła $C_2$ i że kąt pomiędzy $E$ i $C_2$ w $P$ jest mniejszy niż 90 stopni.

_{¹ Posiadanie kąta dokładnie 90 stopni oznacza, że ​​linia pomiędzy$E$ i $P$ po prostu dotyka odpowiedniego okręgu / kuli w punkcie $P$ jako styczna.}