Dlaczego dla idealnych odbić powierzchnia musi mieć ciągłość G2?

Dlaczego dla idealnych odbić powierzchnia musi mieć ciągłość G2 (powierzchnia klasy A)?

Chciałbym matematyczną odpowiedź.

rendering

— Valerio
źródło

Jakiś kontekst? Lub odniesienie, w którym to przeczytałeś? Ponieważ to nie ma dla mnie sensu. Ponadto, jeśli się nie mylę, ciągłość Gn jest zdefiniowana tylko dla kawałków wielomianowych powierzchni, nie ma powodu, aby powierzchnia była wielomianowa, aw praktyce większość powierzchni jest liniowo kawałkowa.

— tom

G2 wspomina jedynie o geometrycznej pochodnej n, niezależnie od jakiejkolwiek parametryzacji.

— Fabrice NEYRET

@tom Mówi o ogólnym designie surfingu jak w CAD. Nie, nie muszą być wielomianami, ale w praktyce często są (z wyjątkiem łuków i stożków)

— joojaa

@joojaa Niż nadal jestem zaskoczony, dlaczego użycie specjalnej notacji Gn. W matematyce istnieje standardowe pojęcie rozmaitości różniczkowej Cn. Więc czy Gn i Cn są takie same? Myślałem, że kolektor Gn jest wielomianem w kawałkach, więc jest to kolektor C-infty, z wyjątkiem szwów łatkowych.

— tom

@ ciągłość C jest ciągłością parametryczną, a G jest ciągłością geonetryczną, w tym przypadku ciągłością 2 oddzielnych geometrii.

— joojaa,

Odpowiedzi:

To, co widzisz, odzwierciedla n-ciągłość normalnych, które są pochodną pozycji. -> powierzchnia tylko G1 miałaby pole normalne tylko G0, tj. z nagłą zmianą gradientu w normalnych (a więc i odbijających), które mogą zauważyć oczy. Powierzchnie G2 mają pola normalne G1, które są wystarczająco gładkie dla twoich oczu.

— Fabrice NEYRET
źródło

Ciągłość G0 oznacza, że oddzielne powierzchnie spotykają się,
G1 Ciągłość, że powierzchnie spotykają się pod tym samym kątem,
Ciągłość G2 oznacza, że zmiana kąta odpowiada punktowi styku.

Wymóg G2 nie oznacza, że powierzchnia jest dobrej jakości. Oznacza to tylko, że bez tego powierzchnia nie będzie miała ciągłego przepływu odbicia, aby ludzie mogli zobaczyć różnicę. To może, ale nie musi być dobre, zależy od tego, czego chcesz.

Matematycznie normalna powierzchnia to:

$f(u,v) \frac{\partial}{\partial u} \times f(u,v) \frac{\partial}{\partial v}$

Ponieważ obie strony są wyprowadzone, oznacza to, że pole funkcyjne normalnej powierzchni ma o jeden stopień mniej niż pierwotna powierzchnia. Aby refleksja była ciągła pierwszego stopnia, musi mieć ciągłość drugiego stopnia.

Do tej pory ustaliliśmy związek między ciągłością powierzchni a ciągłością odbicia. Jak dotąd nic nie dowodzi, że odbicie powierzchni musi być ciągłe pierwszego stopnia. Aby zrozumieć, dlaczego musimy opuścić sferę matematyki i wejść w sferę biologii.

Oko jest wyposażone w algorytm wykrywania krawędzi na poziomie strukturalnym bezpośrednio na siatkówce. Ten algorytm wykrywania zbocza działa w istocie jako dyskretna pochodna sygnału wejściowego. Więc jeśli twoja powierzchnia nie jest ciągła G2, wówczas wykrywa się ludzka krawędź i pojawia się. Odsyłacze czytają na Mach Bands i tak dalej.

Ponieważ wykrywanie krawędzi jest dyskretne, ciągłość G2 nie jest wystarczająca. Zmiana musi być nie tylko lokalnie zadowolona, ale także zadowolona z siatkówki. Dlatego zmiana powinna być na tyle płytka, aby nie powodować problemów.

— joojaa
źródło

Co oznacza „zmiana musi być nie tylko lokalnie zadowolona, ale także zadowolona z siatkówki”?

— Dan Hulme

Oko nie rejestruje ciągłego sygnału. Jest dyskretny, więc nawet jeśli Twoja powierzchnia może technicznie spełniać warunki przedstawione na poziomie matematycznym. Może to nie wystarczyć, jeśli odstępy między próbkami betonu nie zauważą zmiany. Tak więc nachylenie wciąż musi być wystarczająco duże, aby ludzkie oko mogło je zauważyć.

— joojaa,

Wygląda na to, że mówisz, że pochodna (normalna) nie musi być ciągła, ale jej pochodna musi być poniżej pewnego limitu. Jeśli to masz na myśli, myślę, że ostatni akapit twojej odpowiedzi może być jaśniejszy.

— Dan Hulme

@ DanHulme nie jest ograniczeniem pochodnej, nie jest to kwestia nachylenia, tylko interwał nachylenia. Chodzi więc o dyskretne próbkowanie. Bardzo ostry kąt, ale niewielka różnica w nachyleniu może wydawać się ciągła. Podobnie ciągłe zmiany pod krótką ścianą mogą wydawać się ostre. Tu nie chodzi o matematykę, tylko o próbkowanie. Po prostu trudno jest ją zakwalifikować jako system biologiczny.

— joojaa,