C 468
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#define a(s)fputs(s,stdout);
#define b(c)putchar(c);
int r;int z(char*s,int m){for(int i=0;i++<=m;)a(s)b(47)b(r+48)b(61)char*t=s;
while(*++t==48);a(t)while(m--)a(s)b(*s)b(10)}char x[10][60];
int main(int c,char**v){r=atoi(v[1]);int n=atoi(v[2]),q=10*r-1,d=0,p;
while(d++<9){p=r*d;char*y=x[d];do{p*=10;*y++=p/q+48;p%=q;}while(p!=r*d);}
d=1;p=q=0;while(n--){r==5&p<6?z(x[7],7*q+p++):(z(x[d],(r==5&d==7)?7*q+6:q),
++d>9?q+=d=1,p=0:0);}}
(Niektóre znaki nowej linii, które nie są liczone w liczbie bajtów, zostały dodane powyżej, aby wyeliminować paski przewijania. Tak, liczona jest nowa linia).
Oczekuje argumentów w wierszu poleceń i zakłada, że standardowe wyjście akceptuje ASCII. Środowisko wykonawcze to O (liczba wyjściowych bajtów) = O (n * n).
Nie, nie mogę użyć printf
. To zajmuje zbyt dużo czasu i przesuwa program ponad limit minut na moim pulpicie. W tej chwili niektóre przypadki testowe zajmują około 30 sekund.
Algorytm traktuje dane wyjściowe jako ciągi, a nie liczby, ponieważ szybko stają się one ogromne, a na wydruku są silne wzorce.
Nieco golfisty:
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
/* r is as in the problem description */
int r;
void show_line(const char* num, int repeats) {
for (int i=0; i <= repeats; ++i)
fputs(num, stdout);
printf("/%c=", '0'+r);
/* Assume the repeated num is a solution. Just move the first
digit and skip any resulting leading zeros. */
const char* num_tail = num;
++num_tail;
while (*num_tail=='0')
++num_tail;
fputs(num_tail, stdout);
while (repeats--)
fputs(num, stdout);
printf("%c\n", *num);
}
/* sol[0] is unused. Otherwise, sol[d] is the repeating digits in the
decimal representation of (r*d)/(10*r-1). */
char sol[10][60];
int main(int argc, char** argv) {
r = atoi(argv[1]);
int n = atoi(argv[2]);
int q = 10*r-1;
int d = 0;
/* Populate the strings in sol[]. */
while (d++<9) {
int p = r*d;
char* sol_str = sol[d];
/* Do the long division p/q in decimal, stopping when the remainder
is the original dividend. The integer part is always zero. */
do {
p *= 10;
*sol_str++ = p/q + '0';
p %= q;
} while (p != r*d);
}
/* Output the answers. */
d = 1;
int repeats = 0;
int r5x7_repeats = 0;
while (n--) {
if (r==5 && r5x7_repeats<6) {
show_line(x[7], 7*repeats + r5x7_repeats);
} else {
if (r==5 && d==7)
show_line(x[d], 7*repeats + 6);
else
show_line(x[d], repeats);
if (++d > 9) {
d = 1;
++repeats;
r5x7_repeats = 0;
}
}
}
}
Dowód
że program rozwiązuje problem:
(Na dowód, przyjmujemy, że wszystkie operatory i funkcje są prawdziwymi funkcjami matematycznymi, a nie operacjami komputerowymi, które je przybliżają. ^
Oznacza potęgowanie, a nie bitowe xor.)
Dla jasności użyję funkcji ToDec
do opisania zwykłego procesu zapisywania liczby jako ciągu cyfr dziesiętnych. Jego zasięg to zestaw uporządkowanych krotek {0...9}
. Na przykład,
ToDec(2014) = (2, 0, 1, 4).
Dla dodatniej liczby całkowitej n
należy zdefiniować L(n)
liczbę cyfr w reprezentacji dziesiętnej n
; lub,
L(n) = 1+floor(log10(n)).
Dla dodatniej liczby całkowitej k
i nieujemnej liczby całkowitej n
z L(n)<k
, zdefiniuj Rep_k(n)
jako liczbę rzeczywistą uzyskaną przez dodanie zer przed cyframi dziesiętnymi n
, jeśli to konieczne, aby uzyskać k
liczby całkowite, a następnie nieskończone powtarzanie tych k
cyfr po przecinku. Na przykład
Rep_4(2014) = .201420142014...
Rep_5(2014) = .020140201402...
Mnożenie Rep_k(n) * 10^k
daje cyfry n
przed kropką dziesiętną, a cyfry (wypełnione zerą) n
nieskończenie powtarzane po kropce dziesiętnej. Więc
Rep_k(n) * 10^k = n + Rep_k(n)
Rep_k(n) = n / (10^k - 1)
Biorąc pod uwagę dodatnią liczbę całkowitą r
, załóżmy, że x
jest to rozwiązanie problemu, i
ToDec(x) = ( x_1, x_2, ..., x_k )
gdzie x_1 != 0
i k = L(x)
.
Rozwiązaniem x
jest wielokrotność r
i
ToDec(x/r) : ( x_2, x_3, ..., x_k, x_1 ).
Zastosowanie Rep_k
funkcji daje ładne równanie:
10*Rep_k(x) = x_1 + Rep_k(x/r)
Używając zamkniętego formularza z góry,
10x / (10^k - 1) = x_1 + x / r / (10^k - 1)
x = x_1 * r * (10^k-1) / (10r - 1)
x_1
musi być w zestawie {1 ... 9}
. r
został określony w zestawie {2 ... 9}
. Teraz jedynym pytaniem jest, dla jakich wartości k
powyższej formuły x
podaje dodatnią liczbę całkowitą? Rozważymy każdą możliwą wartość r
indywidualnie.
Gdy r
= 2, 3, 6, 8 lub 9, 10r-1
wynosi odpowiednio 19, 29, 59, 79 lub 89. We wszystkich przypadkach mianownik p = 10r-1
jest liczbą pierwszą. W liczniku 10^k-1
może być tylko wielokrotność p
, co dzieje się, gdy
10^k = 1 (mod p)
Zestaw roztworów jest zamykany w trakcie dodawania i odejmowania, co nie skutkuje liczbą ujemną. Tak więc zestaw zawiera wszystkie wielokrotności jakiegoś wspólnego czynnika, który jest również najmniej pozytywnym rozwiązaniem k
.
Kiedy r = 4
i 10r-1 = 39
; lub kiedy r = 7
i 10r-1 = 69
mianownik ma 3 razy inną liczbę pierwszą p=(10r-1)/3
. 10^k-1
jest zawsze wielokrotnością liczby 3 i ponownie żaden inny czynnik licznika nie może być wielokrotnością p
, więc ponownie problem zmniejsza się do
10^k = 1 (mod p)
i znowu wszystkie rozwiązania są wielokrotnościami najmniej pozytywnego rozwiązania k
.
[Nie skończony...]
gprof
, jeden przypadek wejściowy dla mojego programu spędza mniej niż pół sekundy w moim kodzie, ale zajmuje łącznie około 80 sekund, co, jak zakładam, musi w większości blokować wyjście.