Splot dirichleta to specjalny rodzaj splotu , który pojawia się jako bardzo użyteczne narzędzie w teorii liczb. Działa na zbiorze funkcji arytmetycznych .

Wyzwanie

Biorąc pod uwagę dwie funkcje arytmetyczne $f,g$ (tj. Funkcje $f,g: \mathbb N \to \mathbb R$ ), oblicz splot Dirichleta $(f * g): \mathbb N \to \mathbb R$ jak zdefiniowano poniżej.

Detale

Używamy konwencji $0 \notin \mathbb N = \{1,2,3,\ldots \}$ .
Splot Dirichleta $f*g$ dwóch funkcji arytmetycznych $f,g$ jest ponownie funkcją arytmetyczną i jest zdefiniowany jako $(f * g) (n) = \sum_{d | n} f (\frac{n}{d}) \cdot g (d) = \sum_{i \cdot j = n} f (i) \cdot g (j) .$ $(f * g)(n) = \sum_\limits{d|n} f\left(\frac{n}{d}\right)\cdot g(d) = \sum_{i\cdot j = n} f(i)\cdot g(j).$ (Obie sumy są równoważne. Wyrażenie $d|n$ oznacza $d \in \mathbb N$ dzieli $n$ zatem sumowanie na naturalnychdzielnikówz $n$ Podobnie można subsitute. $i = \frac{n}{d} \in \mathbb N, j =d \in \mathbb N$ i otrzymujemy drugi równoważny preparat. Jeśli nie jesteś przyzwyczajony do tej notacji, poniżej znajdziesz krok po kroku.) Tylko w celu rozwinięcia (nie ma to bezpośredniego związku z tym wyzwaniem): Definicja pochodzi z obliczenia iloczynuserii Dirichleta: $(\sum_{n \in N} \frac{f (n)}{n^{s}}) \cdot (\sum_{n \in N} \frac{g (n)}{n^{s}}) = \sum_{n \in N} \frac{(f * g) (n)}{n^{s}}$ $\left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{f(n)}{n^s}\right)\cdot \left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{g(n)}{n^s}\right) = \sum_{n\in\mathbb N}\frac{(f * g)(n)}{n^s}$
Dane wejściowe podano jako dwie funkcje czarnej skrzynki . Alternatywnie możesz również użyć nieskończonej listy, generatora, strumienia lub czegoś podobnego, co może wygenerować nieograniczoną liczbę wartości.
Istnieją dwie metody wyjściowe: albo funkcja $f*g$ jest zwracana, albo alternatywnie możesz wziąć dodatkowe wejście $n \in \mathbb N$ i zwrócić bezpośrednio $(f*g)(n)$ bezpośrednio.
Dla uproszczenia można założyć, że każdy element $\mathbb N$ może być reprezentowany np. Dodatnim 32-bitowym int.
Dla uproszczenia można również założyć, że każdy wpis $\mathbb R$ może być reprezentowany np. Przez jedną rzeczywistą liczbę zmiennoprzecinkową.

Przykłady

Najpierw zdefiniujmy kilka funkcji. Zauważ, że lista liczb pod każdą definicją reprezentuje kilka pierwszych wartości tej funkcji.

tożsamość multiplikatywna ( A000007 ) $ϵ (n) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n > 1 \end{cases}$ $\epsilon(n) = \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & n>1 \end{cases}$ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
funkcja stałej jednostki ( A000012 ) $1 (n) = 1 \forall n$ $\mathbb 1(n) = 1 \: \forall n$ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
funkcja tożsamości ( A000027 ) $i d (n) = n \forall n$ $id(n) = n \: \forall n$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ...
funkcja Möbiusa ( A008683 ) $μ (n) = {\begin{cases} (- 1)^{k} & if n is squarefree and k is the number of Primefactors of n \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $\mu(n) = \begin{cases} (-1)^k & \text{ if } n \text{ is squarefree and } k \text{ is the number of Primefactors of } n \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}$ 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, ...
funkcja sumy Eulera ( A000010 ) $φ (n) = n \prod_{p | n} (1 - \frac{1}{p})$ $\varphi(n) = n\prod_{p|n} \left( 1 - \frac{1}{p}\right)$ 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, ...
funkcja Liouville'a ( A008836 ) $λ (n) = (- 1)^{k}$ $\lambda (n) = (-1)^k$ gdzie $k$ jest liczbą czynników pierwszych $n$ zliczonych 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, ...
funkcja sumy dzielników ( A000203 ) $σ (n) = \sum_{d | n} d$ $\sigma(n) = \sum_{d | n} d$ 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, ...
funkcja zliczania dzielników ( A000005 ) $τ (n) = \sum_{d | n} 1$ $\tau(n) = \sum_{d | n} 1$ 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, ...
funkcja charakterystyczna liczb kwadratowych ( A010052 ) $s q (n) = {\begin{cases} 1 & if n is a square number \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $sq(n) = \begin{cases} 1 & \text{ if } n \text{ is a square number} \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$ 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

Następnie mamy następujące przykłady:

$\epsilon = \mathbb 1 * \mu$
$f = \epsilon * f \: \forall f$
$\epsilon = \lambda * \vert \mu \vert$
$\sigma = \varphi * \tau$
$id = \sigma * \mu$ i $\sigma = id * \mathbb 1$
$sq = \lambda * \mathbb 1$ i $\lambda = \mu * sq$
$\tau = \mathbb 1 * \mathbb 1$ i $\mathbb 1 = \tau * \mu$
$id = \varphi * \mathbb 1$ i $\varphi = id * \mu$

Ostatnie są konsekwencją inwersji Möbiusa : dla każdego $f,g$ równanie $g = f * 1$ jest równoważne $f = g * \mu$ .

Przykład krok po kroku

Jest to przykład obliczany krok po kroku dla tych, którzy nie znają notacji stosowanej w definicji. Rozważ funkcje $f = \mu$ i $g = \sigma$ . Ocenimy teraz ich splot $\mu * \sigma$ przy $n=12$ . Ich kilka pierwszych terminów wymieniono w poniższej tabeli.

\begin{array}{cccccccccccccc} f & f (1) & f (2) & f (3) & f (4) & f (5) & f (6) & f (7) & f (8) & f (9) & f (10) & f (11) & f (12) \\ μ & 1 & - 1 & - 1 & 0 & - 1 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ σ & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \end{array}

$\begin{array}{c|ccccccccccccc} f & f(1) & f(2) & f(3) & f(4) & f(5) & f(6) & f(7) & f(8) & f(9) & f(10) & f(11) & f(12) \\ \hline \mu & 1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ \sigma & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \\ \end{array}$

Suma iteruje się po wszystkich liczbach naturalnych $d \in \mathbb N$ które dzielą $n=12$ , a zatem $d$ przyjmuje wszystkie naturalne dzielniki $n=12 = 2^2\cdot 3$ . Są to $d =1,2,3,4,6,12$ . W każdym podsumowaniu oceniamy $g= \sigma$ punkcie $d$ i mnożymy przez $f = \mu$ obliczone w punkcie $\frac{n}{d}$ . Teraz możemy podsumować

\begin{aligned} (μ * σ) (12) & = μ (12) σ (1) & + μ (6) σ (2) & + μ (4) σ (3) & + μ (3) σ (4) & + μ (2) σ (6) & + μ (1) σ (12) \\ = 0 \cdot 1 & + 1 \cdot 3 & + 0 \cdot 4 & + (- 1) \cdot 7 & + (- 1) \cdot 12 & + 1 \cdot 28 \\ = 0 & + 3 & 10 & - 7 & - 12 & + 28 \\ = 12 \\ = i d (12) \end{aligned}

$\begin{array}{rlccccc} (\mu * \sigma)(12) &= \mu(12)\sigma(1) &+\mu(6)\sigma(2) &+\mu(4)\sigma(3) &+\mu(3)\sigma(4) &+\mu(2)\sigma(6) &+\mu(1)\sigma(12) \\ &= 0\cdot 1 &+ 1\cdot 3 &+ 0 \cdot 4 &+ (-1)\cdot 7 &+ (-1) \cdot 12 &+ 1 \cdot 28 \\ &= 0 & + 3 & 1 0 & -7 & - 12 & + 28 \\ &= 12 \\ & = id(12) \end{array}$

— wada
źródło

5

Lean , 108 100 95 78 75 bajtów

def d(f g:_->int)(n):=(list.iota n).foldr(λd s,ite(n%d=0)(s+f d*g(n/d))s)0

Wypróbuj online!

Więcej przypadków testowych ze wszystkimi funkcjami.

— Leaky Nun
źródło

czy lambda jest naprawdę droższa niż cztery bajty fun ?

— Mario Carneiro,

lambda to trzy bajty, jak sądzę

— Leaky Nun

Myślę, że jest dwa w UTF8 (grecki jest dość niskim unicode)

— Mario Carneiro

Masz rację. Grałem również w golfa import

— Leaky Nun

Zapisałem też cond5 bajtów

— Leaky Nun

4

Haskell , 46 bajtów

(f!g)n=sum[f i*g(div n i)|i<-[1..n],mod n i<1]

Wypróbuj online!

Dzięki flawr dla -6 bajtów i wielkim wyzwaniem! I dzięki H.PWiz za kolejne -6!

— Mego
źródło

Prostsze jest tutaj krótsze

— H.PWiz

@ H.PWiz To całkiem sprytne - nawet nie pomyślałem o zrobieniu tego w ten sposób!

— Mego

3

Python 3 , 59 bajtów

lambda f,g,n:sum(f(d)*g(n//d)for d in range(1,n+1)if 1>n%d)

Wypróbuj online!

— Leaky Nun
źródło

Czy //naprawdę jest potrzebny zamiast /?

— Pan Xcoder,

/czy produkuje pływaki, prawda?

— Leaky Nun

Ponieważ dz ndefinicji jest dzielnikiem , część ułamkowa n/dwynosi zero, więc nie powinno być żadnych problemów z arytmetyką zmiennoprzecinkową. Liczba zmiennoprzecinkowa z ułamkową częścią zerową jest wystarczająco zbliżona do liczb całkowitych dla celów Pythona, a wynikiem działania funkcji jest liczba rzeczywista, więc działanie n/dzamiast n//dpowinno być w porządku.

— Mego

3

Wolfram Language (Mathematica), 17 bytes

Oczywiście Mathematica ma wbudowane. Zdarza się również, że zna wiele przykładowych funkcji. Podałem kilka przykładów roboczych.

DirichletConvolve

Wypróbuj online!

— Kelly Lowder
źródło

2

Dodaj ++ , 51 bajtów

D,g,@~,$z€¦~¦*
D,f,@@@,@b[VdF#B]dbRzGb]$dbL$@*z€g¦+

Wypróbuj online!

Bierze dwie predefiniowane funkcje jako argumenty plus $n$ i wyniki $(f * g)(n)$

Jak to działa

D,g,		; Define a helper function, $g
	@~,	; $g takes a single argument, an array, and splats that array to the stack
		; $g takes the argument e.g. [[τ(x) φ(x)] [3 4]]
		; STACK : 			[[τ(x) φ(x)] [3 4]]
	$z	; Swap and zip:			[[3 τ(x)] [4 φ(x)]]
	€¦~	; Reduce each by execution:	[[τ(3) φ(4)]]
	¦*	; Take the product and return:	τ(3)⋅φ(4) = 4

D,f,		; Define the main function, $f
	@@@,	; $f takes three arguments: φ(x), τ(x) and n (Let n = 12)
		; STACK:			[φ(x) τ(x) 12]
	@	; Reverse the stack:		[12 τ(x) φ(x)]
	b[V	; Pair and save:		[12]			Saved: [τ(x) φ(x)]
	dF#B]	; List of factors:		[[1 2 3 4 6 12]]
	dbR	; Copy and reverse:		[[1 2 3 4 6 12] [12 6 4 3 2 1]]
	z	; Zip together:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]]]
	Gb]	; Push Saved:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)]]]
	$dbL	; Number of dividors:		[[[τ(x) φ(x)]] [[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] 6]
	$@*	; Repeat:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)]]]
	z	; Zip:				[[[τ(x) φ(x)] [1 12]] [[τ(x) φ(x)] [2 6]] [[τ(x) φ(x)] [3 4]] [[τ(x) φ(x)] [4 3]] [[τ(x) φ(x)] [6 2]] [[τ(x) φ(x)] [12 1]]]
	€g	; Run $g over each subarray:	[[4 4 4 6 4 6]]
	¦+	; Take the sum and return:	28

— Cairney Coheringaahing
źródło

2

R , 58 bajtów

function(n,f,g){for(i in (1:n)[!n%%1:n])F=F+f(i)*g(n/i)
F}

Wypróbuj online!

Trwa n, fi g. Na szczęście numberspakiet ma już zaimplementowanych kilka funkcji.

Jeśli dostępne były wersje wektoryzowane, co jest możliwe poprzez zawinięcie każdej z nich Vectorize, możliwa jest następująca 45-bajtowa wersja:

R , 45 bajtów

function(n,f,g,x=1:n,i=x[!n%%x])f(i)%*%g(n/i)

Wypróbuj online!

— Giuseppe
źródło

2

APL (Dyalog Classic) , 20 bajtów

{(⍺⍺¨∘⌽+.×⍵⍵¨)∪⍵∨⍳⍵}

z ⎕IO←1

Wypróbuj online!

Łatwy do rozwiązania, trudny do przetestowania - generalnie nie jest to mój typ wyzwania. Jednak bardzo mi się podobało!

{ }definiuje dynamiczny operator, którego argumenty ⍺⍺i ⍵⍵dwie funkcje są ze sobą powiązane; ⍵jest argumentem liczbowym

∪⍵∨⍳⍵są dzielnikami ⍵w porządku rosnącym, tj. niepowtarzalnym ( ∪) LCM ( ∨) dla ⍵wszystkich liczb naturalnych do niego ( ⍳)

⍵⍵¨ zastosować odpowiedni operand do każdego

⍺⍺¨∘⌽ zastosuj lewy operand do każdego w odwrotnej kolejności

+.× produkt wewnętrzny - pomnóż odpowiednie elementy i sumę

To samo w ngn / apl wygląda lepiej dzięki identyfikatorom Unicode, ale zajmuje 2 dodatkowe bajty z powodu 1-indeksowania.

— ngn
źródło

Całkiem pewne, że zajmuje 27 dodatkowych bajtów w ngn / apl ...

— Erik the Outgolfer

1

Galaretka , 9 bajtów

ÆDṚÇ€ḋÑ€Ʋ

Wypróbuj online!

Linia u góry jest główną linią $f$ , linia u dołu jest główną linią $g$ . $n$ jest przekazywany jako argument do tej funkcji.

— Erik the Outgolfer
źródło

1

Swift 4 , 74 70 54 bajtów

{n in(1...n).map{n%$0<1 ?f(n/$0)*g($0):0}.reduce(0,+)}

Wypróbuj online!

— Pan Xcoder
źródło

1

JavaScript (ES6), 47 bajtów

Pobiera dane wejściowe jako (f)(g)(n).

f=>g=>h=(n,d=n)=>d&&!(n%d)*f(n/d)*g(d)+h(n,d-1)

Wypróbuj online!

Przykłady

liouville =
n => (-1) ** (D = (n, k = 2) => k > n ? 0 : (n % k ? D(n, k + 1) : 1 + D(n / k, k)))(n)

mobius =
n => (M = (n, k = 1) => n % ++k ? k > n || M(n, k) : n / k % k && -M(n / k, k))(n)

sq =
n => +!((n ** 0.5) % 1)

identity =
n => 1

// sq = liouville * identity
console.log([...Array(25)].map((_, n) => F(liouville)(identity)(n + 1)))

// liouville = mobius * sq
console.log([...Array(20)].map((_, n) => F(mobius)(sq)(n + 1)))

— Arnauld
źródło

1

C (gcc) , 108 bajtów

#define F float
F c(F(*f)(int),F(*g)(int),int n){F s=0;for(int d=0;d++<n;)if(n%d<1)s+=f(n/d)*g(d);return s;}

Prosta implementacja, bezwstydnie skradziona z odpowiedzi Pythona Leaky Nun .

Nie golfowany:

float c(float (*f)(int), float (*g)(int), int n) {
    float s = 0;
    for(int d = 1; d <= n;++d) {
        if(n % d == 0) {
            s += f(n / d) * g(d);
        }
    }
    return s;
}

Wypróbuj online!

— joH1
źródło

1

F #, 72 bajty

let x f g n=Seq.filter(fun d->n%d=0){1..n}|>Seq.sumBy(fun d->f(n/d)*g d)

Pobiera dwie funkcje fi gliczbę naturalną n. Odfiltrowuje wartości d, które nie dzielą się w naturalny sposób n. Następnie ocenia f(n/d) i g(d)mnoży je razem i sumuje wyniki.

— Ciaran_McCarthy
źródło

0

Pari / GP , 32 bajty

(f,g,n)->sumdiv(n,d,f(n/d)*g(d))

Wypróbuj online!

Jest wbudowana dirmulfunkcja, ale obsługuje tylko sekwencje skończone .

— alephalpha
źródło

0

APL (NARS), 47 znaków, 94 bajty

{(m⍵[1])×n⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}

gdzie m i n to funkcja, której należy użyć (ponieważ nie wiem, jak wywołać jedną tablicę funkcji w jednej funkcji w APL). Korzystając z powyższego przykładu, mnożenie funkcji Mobiusa (tutaj jest to 12π) i suma funkcji dzielników (tutaj jest 11π) dla wartości 12, to mnożenie byłoby:

  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}12
12

jeśli trzeba obliczyć inną wartość:

  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}1002
1002
  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}1001
1001
  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}20000x
20000

Można zobaczyć, czy na przykład pierwszym numerem 2000 wynikiem funkcji jest tożsamość

  (⍳2000)≡{(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}¨⍳2000
1

— RosLuP
źródło

Konwolucja Dirichleta

Wyzwanie

Detale

Przykłady

Przykład krok po kroku

Lean , 108 100 95 78 75 bajtów

Haskell , 46 bajtów

Python 3 , 59 bajtów

Wolfram Language (Mathematica), 17 bytes

Dodaj ++ , 51 bajtów

Jak to działa

R , 58 bajtów

R , 45 bajtów

APL (Dyalog Classic) , 20 bajtów

Galaretka , 9 bajtów

Swift 4 , 74 70 54 bajtów

JavaScript (ES6), 47 bajtów

Przykłady

C (gcc) , 108 bajtów

F #, 72 bajty

Pari / GP , 32 bajty

APL (NARS), 47 znaków, 94 bajty