Chcielibyśmy czynniki pierwsze Liczba Półpierwsza . Celem wyzwania jest znajdują się dwa małe liczby całkowite i , tak że można trywialny factorized metodą Fermata, co pozwala na łatwe odliczać czynniki . $N$ $u$ $v$ $uvN$ $N$

Zadanie

Biorąc pod uwagę Liczba Półpierwsza i dodatnią liczbą całkowitą określamy i jako: $N$ $k$ $x$ $y$

x = ⌈ \sqrt{k N} ⌉

$x=\lceil\sqrt{kN}\rceil$

y = x^{2} - k N

$y=x^2-kN$

Krok # 1 - Znajdź $k$

Najpierw musisz znaleźć najmniejszą możliwą wartość tak że jest liczbą kwadratową ( czyli kwadrat idealny). $k$ $y$

Pozwala to na czynniki z pojedynczej iteracji Algorytm Fermata . Mówiąc konkretniej, prowadzi to natychmiast do: $kN$

k N = (x + \sqrt{y}) \times (x - \sqrt{y})

$kN=(x+\sqrt{y})\times(x-\sqrt{y})$

(Aktualizacja: ta sekwencja jest teraz opublikowana jako A316780 )

Krok # 2 - Faktoryzuj $k$

Następnie musisz znaleźć dwie dodatnie liczby całkowite i takie, że: $u$ $v$

u v = k

$uv=k$

c u = x + \sqrt{y}

$cu=x+\sqrt{y}$

d v = x - \sqrt{y}

$dv=x-\sqrt{y}$

gdzie i są głównymi czynnikami . $c$ $d$ $N$

streszczenie

Twoim zadaniem jest napisanie programu lub funkcji, która przyjmuje jako dane wejściowe i drukuje lub wyjściowe i w dowolnej kolejności i dowolnym rozsądnym formacie. $N$ $u$ $v$

Przykład

Rozważmy $N = 199163$

Krok 1

Najmniejsza możliwa wartość wynosi , co daje: $k$ $40$

x = ⌈ (\sqrt{40 \times 199163}) ⌉ = 2823

$x = \lceil(\sqrt{40 \times 199163})\rceil = 2823$

y = 2823^{2} - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^{2}

$y = 2823^2 - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^2$

k N = (2823 + 53) \times (2823 - 53)

$kN = (2823 + 53) \times (2823 - 53)$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

Krok 2

Prawidłowa faktoryzacja wynosi , ponieważ: $k$ $k = 4 \times 10$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

k N = (719 \times 4) \times (277 \times 10)

$kN = (719 \times 4) \times (277 \times 10)$

N = 719 \times 277

$N = 719 \times 277$

$[ 4, 10 ]$ $[ 10, 4 ]$

Zasady

$u$ $v$
$uvN$
Dane wejściowe są gwarantowane jako półpierwsze.
To jest golf golfowy, więc wygrywa najkrótsza odpowiedź w bajtach.
Standardowe luki są zabronione.

Przypadki testowe

N          | k    | Output
-----------+------+------------
143        | 1    | [   1,  1 ]
2519       | 19   | [   1, 19 ]
199163     | 40   | [   4, 10 ]
660713     | 1    | [   1,  1 ]
4690243    | 45   | [   9,  5 ]
11755703   | 80   | [  40,  2 ]
35021027   | 287  | [   7, 41 ]
75450611   | 429  | [ 143,  3 ]
806373439  | 176  | [   8, 22 ]
1355814601 | 561  | [  17, 33 ]
3626291857 | 77   | [   7, 11 ]
6149223463 | 255  | [  17, 15 ]
6330897721 | 3256 | [  74, 44 ]

Przykładowa implementacja

$f$ $N$ $u$ $v$

$g$ $N$ $u$ $v$ $N$ $O(1)$

Pokaż fragment kodu

f = N => {
  for(k = 1;; k++) {
    x = Math.ceil(Math.sqrt(k * N));
    y = x * x - k * N;
    ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
    
    if(ySqrt * ySqrt == y) {
      p = x + ySqrt;

      for(u = 1;; u++) {
        if(!(p % u) && !(N % (p / u))) {
          v = k / u;
          return [ u, v ];
        }
      }
    }
  }
}

g = (N, u, v) => {
  x = Math.ceil(Math.sqrt(u * v * N));
  y = x * x - u * v * N;
  ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
  p = x + ySqrt;
  q = x - ySqrt;
  return [ p / u, q / v ];
}

[
  143, 2519, 199163, 660713, 4690243, 11755703,
  35021027, 75450611, 806373439, 1355814601,
  3626291857, 6149223463, 6330897721
]
.map(N => {
  [u, v] = f(N);
  [c, d] = g(N, u, v);
  console.log(
    'N = ' + N + ', ' +
    'u = ' + u + ', ' +
    'v = ' + v + ', ' +
    'N = ' + c + ' * ' + d
  );
});

Rozwiń fragment kodu

code-golf number-theory primes

— Arnauld
źródło

Czy mamy gwarancję, że dane wejściowe Nbędą w rzeczywistości półpierwszymi?

— Greg Martin

@GregMartin Tak, jesteś.

— Arnauld

8

Mathematica, 81 79 bajtów

Dzięki Martin Ender za oszczędność 2 bajtów!

(c=Ceiling;For[j=0;z=E,c@z>z,p=(x=c@Sqrt[j+=#])+{z=Sqrt[x^2-j],-z}];p/#~GCD~p)&

Czysta funkcja przyjmująca półpierwsze jako dane wejściowe i zwracająca uporządkowaną parę dodatnich liczb całkowitych. Te Fornarzędzia pętla dokładna procedura opisana w pytaniu (przy użyciu #do wprowadzania w miejscu n), z x, jak tu zdefiniowana, mimo że przechowywanie j = k*nzamiast ksiebie i z=Sqrt[y]zamiast ysiebie. Obliczamy również p={x+z,x-z}wewnątrz Forpętli, co kończy się oszczędzaniem jednego bajtu (jak przy siódmej próbie). Następnie dwoma pożądanymi czynnikami są (x+z)/GCD[#,x+z]i (x-z)/GCD[#,x-z], które zwięzłe wyrażenie p/#~GCD~poblicza bezpośrednio jako parę uporządkowaną.

Ciekawostki: chcemy zapętlać, aż zbędzie liczbą całkowitą; ale ponieważ zamierzamy użyć Ceilingjuż w kodzie, oszczędza dwa bajty, !IntegerQ@zaby zdefiniować c=Ceiling(co kosztuje cztery bajty, jak wiedzą golfiści Mathematica), a następnie przetestować, czy c@z>z. Musimy zcoś zainicjować i że coś nie powinno być liczbą całkowitą, aby pętla mogła się rozpocząć; na szczęście Ejest to zwięzły wybór.

— Greg Martin
źródło

4

JavaScript (ES7), 86 81 bajtów

n=>(g=k=>(y=(n*k)**.5+1|0,y+=(y*y-n*k)**.5)%1?g(k+1):n*u++%y?g(k):[--u,k/u])(u=1)

Edycja: Zapisano 4 bajty dzięki @Arnauld.

— Neil
źródło

4

Python 2, 127 121 117 111 107 104 101 99 bajtów

-1 bajt dzięki Neilowi i -3 bajty dzięki ovs

N=input()
k=u=1;p=m=.5
while p%1:p=1+(k*N)**m//1;p+=(p*p-k*N)**m;k+=1
while N*u%p:u+=1
print~-k/u,u

Wypróbuj online!

Ciekawostki:

pjest inicjalizowany, aby .5warunek pętli był spełniony przy pierwszej iteracji. Należy pamiętać, że jest on krótszy do sklepu p(jako x+ sqrt(y)), niż jest do przechowywania każdego xi yoddzielnie.

— ćpun matematyki
źródło

x*xzamiast x**2?

— Neil

@Neil Tak, oczywiście. Dzięki

— ćpun matematyki

1

Aksjomat, 131 115 bajtów

v(x)==floor(x^.5)::INT;r(n)==(k:=0;repeat(k:=k+1;x:=1+v(k*n);y:=v(x*x-k*n);x^2-y^2=k*n=>break);[w:=gcd(k,x+y),k/w])

Funkcja, która rozwiązałaby pytanie, to r (n) powyżej. golf i test

vv(x)==floor(x^.5)::INT    

--(x-y)*(x+y)=k*n
rr(n)==
  k:=0
  repeat
     k:=k+1
     x:=1+vv(k*n)
     y:=vv(x*x-k*n)
     x^2-y^2=k*n=>break
  [w:=gcd(k,x+y),k/w]


(4) -> [[i,r(i)] for i in [143,2519,199163,660713,4690243,11755703]]
   (4)
   [[143,[1,1]], [2519,[1,19]], [199163,[4,10]], [660713,[1,1]],
    [4690243,[9,5]], [11755703,[40,2]]]
                                                      Type: List List Any

— RosLuP
źródło

Pomocnik Fermata w procesie faktoryzacji