Edycja: To nie działa, ponieważ zapomniałem o wykrytych czekach. Myślę jednak, że ten postęp jest znaczący, więc zostawię odpowiedź tutaj.
Powtórzenie jest niemożliwe.
Po pierwsze, oczywiście nie może być żadnych ruchów pionka, roszowania ani chwytania.
Następnie twierdzę, że nie może być żadnych ruchów króla. Aby to udowodnić, zauważ, że ruch króla może dać czek tylko wtedy, gdy jest to czek wykryty. Tak więc, aby król mógł sprawdzić, dwaj królowie muszą znajdować się w linii, pionowej, poziomej lub ukośnej. Biorąc pod uwagę pozycję jednego z królów, zestaw kwadratów, na których może znajdować się drugi król, aby mógł sprawdzić, to zestaw kwadratów w tej samej linii z królem, a nie ten sam kwadrat co król lub kwadraty obok ten kwadrat. Żadne z tych dwóch pól nie sąsiadują ze sobą, więc król nie może przejść z jednego takiego pola na drugi w jednym ruchu. Zauważ, że kwadraty A i B są w linii wtedy i tylko wtedy, gdy kwadraty B i A są w linii, więc gdy jeden z królów się poruszy, nie są już w linii, więc żadne dalsze ruchy króla nie mogą dać kontroli. Tak więc w cyklu występuje co najwyżej jeden ruch króla,
Dlatego nie może być żadnych czeków rycerskich, inaczej król musiałby się poruszyć lub rycerz musiałby zostać schwytany.
Dlatego wszystkie ruchy są ruchami po kawałkach, co oznacza, że wszystkie muszą blokować poprzednie kontrole.
W przypadku każdej metryki na zbiorze kwadratów szachownicy załóżmy, że w przypadku dowolnego zestawu pozycji dla królów K1 i K2 oraz dowolnego kwadratu A, który jest w pewnej linii (pionowej, poziomej lub ukośnej) z królem, żaden kwadrat blokujący B nie może zwiększyć sumy odległości od kwadratu do każdego z królów (to znaczy d (A, K1) + d (A, K2)> = d (B, K1) + d (B, K2 )). Następnie suma odległości do każdego z kwadratów królów musi pozostać stała przez cały cykl.
Łatwo jest sprawdzić, czy następujące metryki spełniają tę właściwość: d (A, B) = | row (A) -row (B) | d (A, B) = | kolumna (A) -kolumna (B) | d (A, B) = | nachylenie1 diagonalne (A)-nachylenie1 diagonalne (B) | (Rozumiem przez to liczbę przekątnych, które są równoległe do przekątnej A1H8 od 1-15) d (A, B) = | nachylenie-1 przekątna (A)-nachylenie-1 przekątna (B) | (Taki sam jak poprzedni, ale równoległy do drugiej przekątnej)
W rzeczywistości łatwo zauważyć, że dla dowolnej z powyższych metryk, jeśli kwadrat blokujący nie znajduje się w dwóch równoległych liniach tych metryk (np. Dla pierwszej metryki, w prostokącie z bokami utworzonymi przez rzędy każdego z królami i kolumnami po bokach planszy), a następnie suma odległości zmniejszy się przy następnym kwadracie blokującym. Co byłoby sprzecznością, więc kwadraty blokujące są ograniczone do każdej z ograniczających linii równoległych.
Jeśli dwaj królowie są w tym samym rzędzie, kolumnie lub po przekątnej, użycie argumentu z powyższego akapitu pokazuje, że wszystkie kwadraty blokujące muszą znajdować się w tym rzędzie, kolumnie lub po przekątnej, wyraźnie niemożliwe.
Dlatego jeśli widzimy pozycje króla jako dwa przeciwległe wierzchołki prostokąta o bokach równoległych do boków planszy, używając pierwszych dwóch wskaźników, wszystkie kwadraty blokujące muszą znajdować się w prostokącie ograniczającym lub na nim. Użycie dwóch pozostałych metryk pozwala nam zmniejszyć to do ograniczającego równoległoboku.
Zauważ, że jedyne możliwe kwadraty blokujące to te, które są przecięciami rzędów, kolumn i przekątnych przez każdy z kwadratów królów, ponieważ muszą dać czek drugiemu królowi i zablokować czek. Łatwo zauważyć, że zawsze istnieją 2 możliwe kwadraty blokujące w ograniczającym równoległoboku: pozostałe dwa wierzchołki równoległoboku. Ale jeśli mamy jeden element kontrolny w każdym (co jest konieczne), nie ma od nich żadnych pól, aby przejść do sprawdzenia, sprzeczności.