Określający wpływ małej zmiennej siły na precesję peryheli planetarnych

Czy istnieje technika analityczna do określania wpływu małego zmiennego przyspieszenia poprzecznego na szybkość precesji Aspides (ściśle nie precesji, ale obrót linii Aspides) planety krążącej wokół Słońca w płaszczyźnie 2D zgodnie z prawem grawitacji Newtona ?

Modelowałem takie efekty w powtarzalnym modelu komputerowym i chciałbym zweryfikować te pomiary.

Wzór na przyspieszenie poprzeczne to

$A t = (K / c^{2}) * V r * V t * A r .$ $At = (K/c^2)*Vr*Vt * Ar.$

Gdzie:-

c jest prędkością światła,

K jest stałą wielkości od 0 do +/- 3, taką, że . $K/(c^2) << 1$

Ar jest przyspieszeniem planety w kierunku Słońca z powodu newtonowskiego grawitacyjnego wpływu Słońca ( ). $Ar = GM/r^2$

Vr jest składową radialną prędkości planety względem Słońca (+ = ruch od Słońca)

Vt jest składnikiem poprzecznym prędkości planety względem Słońca (+ = kierunek ruchu planety do przodu wzdłuż ścieżki orbity). Wektorowo Vt = V - Vr, gdzie V jest całkowitym wektorem prędkości chwilowej planety względem Słońca.

Załóżmy, że masa planety jest niewielka w stosunku do Słońca

W systemie nie ma innych organów

Wszystkie ruchy i przyspieszenia są ograniczone do dwuwymiarowej płaszczyzny orbity.

AKTUALIZACJA

Powodem, dla którego mnie to interesuje, jest to, że wartość K = +3 w moim modelu komputerowym wytwarza anomalne (nienewtonowskie) wartości prędkości obrotu okołozębowego bardzo bliskie w granicach około 1% wartości przewidywanych przez ogólną teorię względności oraz w granicach kilku procent obserwowane przez astronomów (Le Verrier, zaktualizowane przez Newcomb).

Wzór (Einstein, 1915) na obrót okołozębowy na podstawie GR (radianów na orbitę) z http://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession

ω = 24. π^{3} . a^{2} . T^{- 2} . c^{- 2} . (1 - e^{2})^{- 1}

$\boldsymbol{\omega}=24.\pi^3.a^2.T^{-2}.c^{-2}.(1-e^2)^{-1}$

AKTUALIZACJA 4

Zaakceptowałem odpowiedź Waltera. Nie tylko odpowiedział na pierwotne pytanie (Czy istnieje technika ...?), Ale także jego analiza daje formułę, która nie tylko potwierdza symulowane komputerowo efekty formuły przyspieszenia poprzecznego (dla K = 3), ale także (nieoczekiwanie) dla mnie) jest zasadniczo równoważny formule Einsteina 1915.

z Podsumowania Waltera (w odpowiedzi Waltera poniżej): -

: (z analizy peturbacji pierwszego rzędu) oś pół-główna i mimośrodowość pozostają niezmienione, ale kierunek periapse obraca się w płaszczyźnie orbity z prędkością gdzie jest częstotliwość orbitalnych się pół-osi głównej. Należy zauważyć, że (dla ) jest to zgodne z ogólnym wskaźnikiem precesji względności (GR) przy zamówieniu (podanym przez Einsteina 1915).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

gravity eccentric-orbit

— steveOw
źródło

Nadal szukasz odpowiedzi?

— Walter

@Walter. Tak, jestem. Zadałem podobne pytanie na stronie physics.stackexchange.com/questions/123685/…, ale nie otrzymano jeszcze solidnej odpowiedzi.

— steveOw

@Walter. Poprosiłam też na math.stackexchange.com/questions/866836/... .

— steveOw

Tak, istnieją przybliżone metody analityczne (teoria zaburzeń), obowiązujące w granicach . Być może możesz trochę wyjaśnić swoje pytanie. Jaki jest kierunek przyspieszenia poprzecznego (rozumiem, że „poprzeczny” oznacza prostopadły do prędkości chwilowej, ale nie jest jasne, czy przyspieszenie jest w płaszczyźnie orbity, prostopadłej czy mieszanki).

K ≪ 1

$K\ll1$

— Walter

Istnieje różnica między twoim pytaniem tutaj a pytaniem dotyczącym matematyki (i fizyki): tutaj przyspieszenie poprzeczne jest proporcjonalne do przyspieszenia promieniowego, a jest liczbą bezwymiarową, tam przyspieszenie promieniowe nie ma wpływu na przyspieszenie poprzeczne i musi być przyspieszenie (choć mówisz o „liczbie”).

K

$K$

K

$K$

— Walter

Możesz użyć teorii perturbacji . To daje tylko przybliżoną odpowiedź, ale pozwala na leczenie analityczne. Twoja siła jest uważane za małe perturbacje na orbicie eliptycznej Keplerian i wynikające z równania ruchu są rozszerzane w kompetencji . W przypadku teorii zaburzeń liniowych zachowane są tylko terminy liniowe wTo po prostu prowadzi do zintegrowania perturbacji na niezakłóconej oryginalnej orbicie. Pisząc swoją siłę jako wektor, zaburzające przyspieszenie to z prędkość radialną ( ) i $K$ $K$

a = K \frac{G M}{r^{2} c^{2}} v_{r} v_{t}

$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$

v_{r} = v \cdot \hat{r}

$v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$

v \equiv \dot{r}

$\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$

v_{t} = (v - \hat{r} (v \cdot \hat{r}))

$\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$ składową rotacyjną prędkości ( pełna prędkość minus prędkość radialna). Powyżej kropka oznacza pochodną czasu, a kapelusz wektor jednostkowy.

Teraz zależy od tego, co masz na myśli przez „ efekt ”. Opracujmy zmiany orbitalnej osi semimajor , mimośrodowości i kierunku periapse. $a$ $e$

W celu podsumowania poniższe wyniki : wielkiej półosi i mimośród pozostają niezmienione, ale kierunek obracania periapse w płaszczyźnie orbity w dawce gdzie jest częstotliwość orbitalnych się pół-osi głównej. Należy zauważyć, że (dla ) jest to zgodne z ogólnym wskaźnikiem precesji względności (GR) przy zamówieniu (podanym przez Einsteina 1915, ale nie wspomnianym w pierwotnym pytaniu).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

zmiana osi semimajor

W związku (z energia orbitalnej) mamy do zmiany skutek zewnętrznego (nie Keplerowskie) przyspieszenie Wstawianie (zwróć uwagę, że z wektorem pędu ), otrzymujemy Ponieważ średnia na orbicie dla dowolnej funkcji (patrz poniżej), . $a=-GM/2E$ $E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$ $a$

\dot{a} = \frac{2 a^{2}}{G M} v \cdot a .

$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$

a

$\boldsymbol{a}$

v \cdot v_{t} = h^{2} / r^{2}

$\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$

h \equiv r \land v

$\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$

\dot{a} = \frac{2 a^{2} K h^{2}}{c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{4}} .

$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = 0

$\langle v_r f(r)\rangle=0$

f

$f$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

zmiana ekscentryczności

Od znajdujemy Wiemy już, że , więc wystarczy wziąć pod uwagę pierwszy termin. Zatem której użyłem tożsamości i fakt $\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$

e \dot{e} = - \frac{h \cdot \dot{h}}{G M a} + \frac{h^{2} \dot{a}}{2 G M a^{2}} .

$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

e \dot{e} = - \frac{(r \land v) \cdot (r \land a)}{G M a} = - \frac{r^{2} v \cdot a}{G M a} = - \frac{K h^{2}}{a c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{2}},

$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$

(a \land b) \cdot (c \land d) = a \cdot c b \cdot d - a \cdot d b \cdot c

$(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$

r \cdot a_{p} = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$ . Ponownie a zatem .

⟨ v_{r} / r^{2} ⟩ = 0

$\langle v_r/r^2\rangle=0$

⟨ \dot{e} ⟩ = 0

$\langle\dot{e}\rangle=0$

zmiana kierunku periapse

Mimośród wektor punktów (od środka ciężkości) w kierunku periapse ma wielkość , i jest zachowany pod wpływem ruchu Keplerowskiego (potwierdź to wszystko jako ćwiczenie!). Na podstawie tej definicji znajdujemy jej natychmiastową zmianę z powodu zewnętrznego przyspieszenia $\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$ $e$

\dot{e} = \frac{a \land (r \land v) + v \land (r \land a)}{G M} = \frac{2 (v \cdot a) r - (r \cdot v) a}{G M} = \frac{2 K}{c^{2}} \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{K}{c^{2}} \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r}

$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$ gdzie użyłem tożsamości i fakt . Średnie dla tych wyrażeń na orbicie są omówione w załączniku poniżej. Jeśli w końcu wszystko poskładamy, otrzymamy z [ ponownie poprawiony ] Jest to obrót periapseu w płaszczyźnie orbity o częstotliwości kątowej. W szczególności

a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

$\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

r \cdot a = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$

\dot{e} = ω \land e

$\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$

ω = Ω K \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} (1 - e^{2})^{- 1} \hat{h} .

$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$

ω = | ω |

$\omega=|\boldsymbol{\omega}|$

⟨ e \dot{e} ⟩ = ⟨ e \cdot \dot{e} ⟩ = 0

$\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$ zgodnie z naszym poprzednim ustaleniem.

Nie zapominaj, że ze względu na wykorzystanie teorii perturbacji pierwszego rzędu wyniki te są ściśle zgodne tylko z granicą . Jednak w teorii zaburzeń drugiego rzędu zarówno i / lub mogą ulec zmianie. W swoich eksperymentach numerycznych, należy stwierdzić, że zmiany orbit uśrednione z i są albo zero albo skala silniejsza niż liniowa z zaburzeń amplituda . $K(v_c/c)^2\to0$ $a$ $e$ $a$ $e$ $K$

zrzeczenie się odpowiedzialności Nie ma gwarancji, że algebra jest poprawna. Sprawdź to!

Dodatek: średnie z orbit

Średnie na orbicie z funkcją arytmetyczną (ale całkowitą) można obliczyć bezpośrednio dla dowolnego rodzaju okresowej orbity. Niech będzie pierwotną funkcją , tj. , to średnia orbity to: z okresem orbity. $v_rf(r)$ $f(r)$ $F(r)$ $f(r)$ $F'\!=f$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{r} (t) f (r (t)) d t = \frac{1}{T} {[F (r (t))]}_{0}^{T} = 0

$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$

T

$T$

Aby uzyskać średnie dla orbity wymagane w , musimy wykopać nieco głębiej. Dla orbity eliptycznej Keplerian z wektorem ekscentryczności i wektor prostopadły do i . Tutaj, jest ekscentryczną anomalią, która jest związana ze średnią anomalią poprzez tak że $\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$

r = a ((\cos η - e) \hat{e} + \sqrt{1 - e^{2}} \sin η \hat{k}) and r = a (1 - e \cos η)

$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$

e

$\boldsymbol{e}$

\hat{k} \equiv \hat{h} \land \hat{e}

$\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$

e

$\boldsymbol{e}$

h

$\boldsymbol{h}$

η

$\eta$

ℓ

$\ell$

ℓ = η - e \sin η,

$\ell=\eta-e\sin\eta,$

d ℓ = (1 - e \cos η) d η

$\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$ a średnia orbity staje się Biorąc pochodną czasu (zwróć uwagę, że częstotliwość orbitalna) , znajdujemy dla chwilowej (niezakłóconej) prędkości orbitalnej gdzie wprowadziłem , prędkość orbity kołowej z osią semimajor . Na tej podstawie znajdujemy prędkość radialną

⟨ \cdot ⟩ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot d ℓ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot (1 - e \cos η) d η .

$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$

\dot{ℓ} = Ω = \sqrt{G M / a^{3}}

$\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$

r

$\boldsymbol{r}$

v = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \cos η \hat{k} - \sin η \hat{e}}{1 - e \cos η}

$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$

v_{c} \equiv Ω a = \sqrt{G M / a}

$v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$

a

$a$

v_{r} = \hat{r} \cdot v = v_{c} e \sin η (1 - e \cos η)^{- 1}

$v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$ i prędkość obrotowa

v_{t} = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} (\cos η - e) \hat{k} - (1 - e^{2}) \sin η \hat{e}}{(1 - e \cos η)^{2}} .

$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$

Dzięki nim [ poprawiliśmy ponownie ] w szczególności składowe w kierunku średnio do zera. W ten sposób [ poprawione ponownie ]

⟨ \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e (1 - e^{2})^{3 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = \frac{Ω v_{c}^{2} e}{2 (1 - e^{2})} \hat{k} ⟨ \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e^{2} (1 - e^{2})^{1 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η (\cos η - e)}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = 0,

$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$

\hat{e}

$\hat{\boldsymbol{e}}$

⟨ 2 \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = \frac{Ω v_{c}^{2} e \hat{k}}{(1 - e^{2})}

$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$

— Walter
źródło

Komentarze nie są przeznaczone do rozszerzonej dyskusji; ta rozmowa została przeniesiona do czatu .

— nazwie 2voyage